Lösbarkeit kubischer Gleichungen |
07.07.2012, 14:11 | Larissa2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Lösbarkeit kubischer Gleichungen Ich soll u.a zeigen, dass y^2 = x^3 + 1315 keine ganzzahlige Lösung besitzt. Meine Ideen: Zu zeigen ist(?) ja, dass sqrt(x^3+1315) nie irgendetwas ganzzahliges ergibt, wenn ich ganzzahlige x einsetze. Meine Idee wäre das nun irgendwie per Induktion zu machen. Für x=1 gilt das auf jeden Fall, denn dann wäre y 36,27blub Setze ich nun n+1 ein, komme ich auf die Form sqrt(n^3+3n^2+3n+1+1315) Und das war schon, keine Idee mehr.. gibt es irgendeine Satz den ich da einfach draufwerfen könnte? |
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07.07.2012, 14:25 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Induktion hat hier nichts zu suchen. Du kannst offenbar ja nicht mal eine saubere Induktionsbehauptung aufsetzen. Dieses Mittel der Wahl ist hier modulo-Rechnung. Zeige, dass modulo einer geeigneten Primzahl keine Lösung existiert, so kann auch keine ganzzahlige Lösung existieren (Lokal-Global-Prinzip). Das Legendre-Symbol könnte nützlich. |
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07.07.2012, 14:27 | Larissa2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Merci für den 2. Teil, ein müdes Lächeln für den 1. |
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07.07.2012, 14:32 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sorry, der erste Teil kam etwas hart rüber. Ersetze das offenbar durch hier. |
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09.07.2012, 11:07 | Larissa2 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Damit der Fred hier komplett ist mal eine Lösung: Man kann relativ leicht zeigen, dass wenn bei Gleichungen der Form y^2 = x^3 +k das k von der Form (4*n-1)^3-2m^2 ist und m keinen Primteiler = 3 mod 4 hat. Wählt man nun n und m jeweils passen hat man die Aussage. ~ |
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