Lösbarkeit kubischer Gleichungen

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Larissa2 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit kubischer Gleichungen
Meine Frage:
Ich soll u.a zeigen, dass y^2 = x^3 + 1315 keine ganzzahlige Lösung besitzt.



Meine Ideen:
Zu zeigen ist(?) ja, dass sqrt(x^3+1315) nie irgendetwas ganzzahliges ergibt, wenn ich ganzzahlige x einsetze.

Meine Idee wäre das nun irgendwie per Induktion zu machen.

Für x=1 gilt das auf jeden Fall, denn dann wäre y 36,27blub

Setze ich nun n+1 ein, komme ich auf die Form sqrt(n^3+3n^2+3n+1+1315)

Und das war schon, keine Idee mehr.. gibt es irgendeine Satz den ich da einfach draufwerfen könnte?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Induktion hat hier nichts zu suchen.
Du kannst offenbar ja nicht mal eine saubere Induktionsbehauptung aufsetzen.

Dieses Mittel der Wahl ist hier modulo-Rechnung. Zeige, dass modulo einer geeigneten Primzahl keine Lösung existiert, so kann auch keine ganzzahlige Lösung existieren (Lokal-Global-Prinzip).
Das Legendre-Symbol könnte nützlich.
Larissa2 Auf diesen Beitrag antworten »

Merci für den 2. Teil, ein müdes Lächeln für den 1.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, der erste Teil kam etwas hart rüber. Ersetze das offenbar durch hier.
Larissa2 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit der Fred hier komplett ist mal eine Lösung:

Man kann relativ leicht zeigen, dass wenn bei Gleichungen der Form y^2 = x^3 +k das k von der Form (4*n-1)^3-2m^2 ist und m keinen Primteiler = 3 mod 4 hat. Wählt man nun n und m jeweils passen hat man die Aussage.

~
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