Lösungsmenge einer Gleichung in vektorieller Form

07.07.2012, 14:53

Pepepuhn

Lösungsmenge einer Gleichung in vektorieller Form

Hi,

folgende Fragestellung: Schreiben Sie die Lösungsmenge der Gleichung x - 4y + 3z = 7 im R³ in vektorieller Form.

Hab jetzt nach x aufgelöst: x = 4y - 3z + 7 .

Die Lösungsmenge würde ich wie folgt angeben: L = { (4y-3z+7, y, z)T | y,z € R }

Meine Frage, wie sieht nun die Lösungsmenge in vektorieller Form aus?

07.07.2012, 15:12

original

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RE: Lösungsmenge einer Gleichung in vektorieller Form

Zitat:

Original von Pepepuhn

: Schreiben Sie die Lösungsmenge der Gleichung x - 4y + 3z = 7 im R³ in vektorieller Form.

deine "Lösungsmenge" sind die Punkte einer Ebene, von der du eine Gleichung in
Komponentenschreibweise gegeben hast..

was du also machen sollst, ist, diese Gleichung in einer Vektorformdarstellung zu notieren

schau dir wiki -> "Ebenengleichungen" an oder google .. um dich selbst zu informieren.

.

07.07.2012, 15:41

Pepepuhn

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also ist die Lösungsmenge: x1(1,0,0) + x2 (-4,0,0) + x3(3,0,0) = 7 ?

07.07.2012, 15:51

original

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... nein

du solltest dir zB einfach irgend drei Punkte A,B und C ausdenken, die deine Gleichung erfüllen
(und die nicht auf einer Geraden liegen) .. Beispiel: A(0/-1/1), .. usw..

dann sieht der Vektor, der vom Ursprung O zu einem beliebigen Punkt P(x/y/z) der Ebene E geht, so aus:

$\begin{eqnarray*} \vec{OP} = \vec{OA}+ s\cdot \vec{AB}+ t\cdot \vec{AC} \end{eqnarray*}$

wobei s und t beliebige reelle Parameter sind;
setze also deine Zahlen ein und du hast eine Vektorgleichung von E

eine andere Möglichkeit, eine vektorielle Form für E zu notieren, könnte zB so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \left[\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right]\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

denk auch darüber vielleicht mal nach Wink

07.07.2012, 18:51

Pepepuhn

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Ok, danke. So ganz Blick ich immernoch nich durch:

Lautet das Ergebnis dann: $\begin{eqnarray*} \vec{0P} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wohin mit der 7 aus der gegebenen Gleichung?

07.07.2012, 22:07

original

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Zitat:

Original von Pepepuhn

Lautet das Ergebnis dann: $\begin{eqnarray*} \vec{0P} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 3 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unglücklich

Aber wohin mit der 7 aus der gegebenen Gleichung?

-> nein ->
woher hast du die beiden Richtungsvektoren?

du solltest doch zwei weitere Punkte B und C finden, deren Koordinaten die Gleichung
x - 4y + 3z = 7 erfüllen? Und in diesen Punkten steckt ja dann die 7 mit drin versteckt...

schreib deine Punkte mal auf
und berechne dann die beiden Richtungsvektoren AB und AC

Rest wie oben schon notiert..

also mach einen neuen Versuch:
.

07.07.2012, 22:18

shipwater

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RE: Lösungsmenge einer Gleichung in vektorieller Form
Hallo,

Zitat:

Original von Pepepuhn
Hab jetzt nach x aufgelöst: x = 4y - 3z + 7 .

Ausgehend von dieser Umformung kann man auch einen passenden Ansatz finden. Setzt du jetzt nämlich $\begin{eqnarray*} s:=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t:=z \end{eqnarray*}$ dann hast du ja $\begin{eqnarray*} x=4s-3t+7 \end{eqnarray*}$ also insgesamt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4s-3t+7\\ s \\t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das kannst du jetzt noch in die übliche Form mit Stützvektor und Spannvektoren bringen.

Gruß Shipwater

07.07.2012, 22:19

Pepepuhn

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Zitat:

Original von original

Zitat:

Aber wohin mit der 7 aus der gegebenen Gleichung?

Wie finde ich die zwei weiteren Punke B und C? Und wie lautet der erste Punkt?

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Lösungsmenge einer Gleichung in vektorieller Form

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