Lineare Approximation bei Funktion mehrer Veränderlichen

07.07.2012, 16:03	Steb	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Approximation bei Funktion mehrer Veränderlichen Meine Frage: Gegeben ist: $\begin{eqnarray} f(x,y) = x^2y +xy^2 + 3xy \end{eqnarray}$ Was getan werden soll: Bestimmen Sie einen Näherungswert für $\begin{eqnarray} f(1.1, -0.9) \end{eqnarray}$ mit Hilfe einer linearen Approximation in $\begin{eqnarray} (x_0, y_0) = (1; -1) \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die partiellen Ableitungen und den Gradienten habe ich bestimmt. Ich dachte, das könnte man über die Tangentialebene approximieren, aber da in den anderen Aufgaben das immer explizit gefordert wurde, muss es doch auch anders gehen? Irgendwie werde ich sicherlich den Gradienten dafür hernehmen müssen, in welcher Art und weise er vergewaltigt werden soll? Für die Werte 1.1 und -0.9 nimmt die komplette Funktion den exakten Wert -3.168 an. Meine bisherigen Lösungsideen sind leider weit weg davon.. $\begin{eqnarray} f(1.1, -0.9) = <grad f(1, -1), (1.1, -0.9)> \end{eqnarray}$ wäre meine Idee.. aber da komme ich auf -8.4..
07.07.2012, 16:58	Steb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war wohl nah dran, die Lösung ist nach derm Form: $\begin{eqnarray} f(x,y) = f(x_0, y_0) + < grad f(x_0,y_0), (x,y) - (x_0, y_0)> \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} f(1.1, -0.9) = f(1, -1) + < gradf(1,-1) , (1.1, -0.9) - (1, -1)> = -3.2 \end{eqnarray}$ was gut aussieht für -3.168

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