Charakteristisches Polynom einfach ausrechnen

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DrZee Auf diesen Beitrag antworten »
Charakteristisches Polynom einfach ausrechnen
Ich bin gerade dabei, das charakteristische Polynom einer Matrix auszurechnen und frage mich, ob es da nicht eine Möglichkeit gibt, das Ganze so umzuformen, dass man die Nullstellen einfach ablesen kann.

Das ist das Polynom:



Natürlich könnte ich das jetzt ausmultiplizieren, aber dann wäre die Berechnung der Nullstellen ja nicht mehr ganz so einfach. Leider sehe ich gerade nicht, wie man das sinnvoll umformt, sodass im großen und ganzen nur noch Terme der Form da stehen, bei denen man auch gleich die arithmetische Vielfachheit ablesen kann.

Kann mir da jemand einen Tipp geben? verwirrt
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Da bisher keiner geantwortet hat:


ist der einzige Faktor, den ich schnell sehe und ausklammern
würde/kann.
Dann wärs nur noch ein Polynom dritten Grades, welches es zu beachten gilt.
(Für das Ausklammern die letzten beiden Summanden zusammenfassen).

Aber eine "Lösungsformel" nach deinem Wunsch ist mir nicht bekannt und ohne eine
"Ahnung" was rauskommen soll, auch eher schwierig hier was zu finden.



Mehr seh ich auch nicht.
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin auf :



gekommen. Mit n als natürliche Zahl.
natural Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Ich bin auf :



gekommen. Mit n als natürliche Zahl.


Das würde mich schon interessieren wie du darauf gekommen bist?
Hab auch ein bisschen ausprobiert aber auf deine schöne Form bin leider nicht gekommen.

mfg
natural
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

nun , dass n=2 ist , ist ja kein Geheimnis.

Dazu gehört auch viel Intuition und auch, das sinnige Ziel vor Augen zu haben.
Dann klappt es schon irgendwann mal. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das war eventuell etwas knapp.

Du überlegst ganz pragmatisch, dass wahrscheinlich nur einfache Nullstellen vorhanden sind.

die Este ist klar :
Nach Hornerschema wird die eliminiert. Aber es könnte auch nichts schaden das auf doppelte Nullstelle nochmals zu untersuchen:
Und siehe da es klappt!
Der Rest ist dann sozusagen trivial.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das ist nur rumgerate und ausklammern/polynomdivision.

Also genau das, was ich gesagt hatte...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Polynom kann man doch völlig ohne Tricks und raten faktorisieren verwirrt

Man klammert zuerst aus den ersten beiden Summanden aus:



Und dann ist es klar:



Jetzt sind nur noch 2 Polynome vom Grad 2 zu faktorisieren, was immer leicht funktioniert.

Aber noch viel interessanter wäre es mal die Matrix zu sehen. Vielleicht kann man da nämlich direkt so vorgehen, dass man gar nicht auf so ein "Problem" stößt.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Danke tmo Freude .


Augenzwinkern
DrZee Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Antworten! Genau so hab ich mir das vorgestellt. Freude

Die Matrix sieht folgendermaßen aus:
Hätte man das von hier aus einfacher machen können?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hätte man.

Benennt man die Matrix mit A und betrachtet die 2x2-Matrizen und , so ist

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