Partialbruchzerlegung, Problem mit LGS

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07.07.2012, 20:37	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung, Problem mit LGS Meine Frage: Hallo, ich habe folgendes Integral. dx / x^2(x+1).. ich komme ab dem LGS nicht mehr weiter, ich weiß leider nicht wie das anzuwenden ist. Meine Ideen: a/x + B/x^2 + C/x+1 = A(x^2+x) + B(x+1) + C(x^2) = (A+C)x^2 + (A+B)x + B LGS; A+C= A+B= B =
07.07.2012, 20:42	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nunja du hast ja angesetzt mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1} \end{eqnarray}$ Was bleibt denn auf der linken Seite übrig, wenn du mit $\begin{eqnarray} x^2(x+1) \end{eqnarray}$ multiplizierst? Gruß Shipwater
07.07.2012, 20:53	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
1? Habe gerade eben noch in meinen Heft nachgeschaut, es scheint so als ob unserer Lehrer das alles für selbstverständlich hält und hat den Schritt immer komplett weggelassen. Wenn es für dich, oder einen anderen nicht zu viel Aufwand wäre, und ihr mir hier das Schritt für Schritt 1x erklären könntet - wäre ich auch sehr dankbar. Natürlich versuche ich auch selbst was einzubringen
07.07.2012, 20:55	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau da steht dann also $\begin{eqnarray} 1=(A+C)x^2 + (A+B)x + B \end{eqnarray}$ oder anders geschrieben $\begin{eqnarray} 0x^2+0x+1=(A+C)x^2 + (A+B)x + B \end{eqnarray}$ So mache jetzt den Koeffizientenvergleich. Gruß Shipwater
07.07.2012, 21:02	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da liegt der Wurm begraben, da ich nicht wirklich weiß - wie das geht
07.07.2012, 21:08	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht hilft dir ja dieser Link: [WS] Partialbruchzerlegung Beschränken wir uns nun mal auf das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ . Links hat das $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ den Koeffizienten $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und rechts den Koeffizienten $\begin{eqnarray} A+C \end{eqnarray}$ also muss $\begin{eqnarray} 0=A+C \end{eqnarray}$ gelten. Das gleiche kannst du nun noch mit den Koeffizienten von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und den Absolutgliedern machen. Gruß Shipwater
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07.07.2012, 21:13	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
0 = A + C 0 = A + B 1 = B Würde ich so rausbringen. Was glaube ich nicht sein kann (laut Lösung) müsste es 0 = A + C 1 = A + B 0 = B geben. Wieso ergibt A + B = 1?
07.07.2012, 21:16	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Du liegst richtig und die Lösung ist falsch. Gruß Shipwater
07.07.2012, 21:19	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm. Ich habe das ganze auch mal in einen Rechner eingetippt, auch dieser bekommt das raus: x2: A + C = 0 x1: A + B = 1 x0: B = 0 Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen: A = 1 B = 0 C = -1 siehe, arndt-bruenner.de/mathe/scripts/partialbruchzerlegung.htm
07.07.2012, 21:28	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich dort $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2(x+1)} \end{eqnarray}$ eingebe erhalte ich: $\begin{eqnarray} x^2:~ A+C=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^1:~ A+B=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^0:~ B=1 \end{eqnarray}$ Dieses Gleichungssystem hat folgende Lösungen: $\begin{eqnarray} A=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C=1 \end{eqnarray}$ Gruß Shipwater
08.07.2012, 02:09	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, du hast recht! Vielen Lieben Dank! Hatte statt einer 1 oben ein x eingetragen. So wie es scheint ist die Partialbruchzerlegung relativ einfach Das was mir noch des öfteren (auch nach einigen Übungsaufgaben rätsel aufgibt) ist, wie zu den Werten bei A, B, C komme. Also in meinem Beispiel: dx / x^2(x+1) a/x + B/x^2 + C/x+1 = A(x^2+x) + B(x+1) + C(x^2) Gibt es da bestimmte Methoden? Bei anderen Übungsaufgaben habe ich z.B. gesehen, dass das x^2 direkt unter dem A war etc.
08.07.2012, 10:21	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Da werde ich nicht drauf antworten, weil sich schon jemand anderes die Mühe gemacht hat: [WS] Partialbruchzerlegung Gruß Shipwater
08.07.2012, 22:20	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke nochmals für die Hilfe gestern und auch für den Link. Anhand diesem Beispieles verstehe ich das, jedoch ist es mir weiterhin schleierhaft wie ich auf die Werte komme wenn eine doppelte Nullstelle und eine einfache Nullstelle da ist. Vielleicht kannst du mir oder ein anderer doch nochmal auf die Sprünge helfen. Gegeben ist folgendes Integral: (s^2 - 2) / (s(s^2-4s+4) Mein Ansatz: = s(s-2)^2 <= neuer Hauptnenner Nullstellen: Bei 0 einfache, bei 2 doppelte Wenn ich nun nach dem Schema vom Link vorgehen erhalte ich A/x-0 + B/x-2 + C/x-2 Korrekt ist allerdings: A/x + B/x-1 + C/(x-1)^2 Wieso?
08.07.2012, 22:26	Alex12345111	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich habe auch gelesen bei doppelte/mehrfacher Nullstelle wird a/x-xn Damit könnt eich das obige Beispiel verstehen, aber wegen meiner eingangsaufgabe: dx/x^2(x+1) NST einfach bei -1, NST doppelt bei 0 Korrektes Ergebnis ist da A/x + B/x^2 + C/x+1 Wieso kommt da nicht A/x + B/x-1 + C/x-1 raus?
09.07.2012, 10:07	shipwater	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh leider nur Bahnhof. Wie zur Hölle soll man denn bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2(x+1)} \end{eqnarray}$ auf den Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-1} \end{eqnarray}$ kommen? Du hast doch bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2(x+1)} \end{eqnarray}$ nichtmal den Linearfaktor $\begin{eqnarray} x-1 \end{eqnarray}$ im Nenner... Gruß Shipwater

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