Lagrange/Lösung Gleichungssystem

07.07.2012, 20:43	mikroCG	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange/Lösung Gleichungssystem Meine Frage: f(x,y) = x² + y² NB: g(x,y) = x² + xy + y² = 3 Gesucht sind Minimum und Maximum. Es geht um die Anwendung der LaGrange-Funktion. Meine Ideen: NB nach "0" auflösen, LaGrange bilden, partielle Ableitungen: (habe kein Lambazeichen, setze: "q") Lx: 2x + 2qx + qy = 0 Ly: 2y + 2qy + qx = 0 Lq: x² + xy + y² - 3 = 0 Mein Problem ist jetzt die Lösung dieses Gleichungssystems. Ich laufe immer im Kreis und komm nach allem hin und her zu keinem Ergebnis. Danke für die Hilfe!
08.07.2012, 10:47	mikroCG	Auf diesen Beitrag antworten »
a) Lx - 2Ly: 2x - 4y - 3qy = 0 --> x = 2y + 1,5qy b) Ly - 2Lx: 2y - 4x - 3qx = 0 --> y = 2x + 1,5qx Kann ich b) in a) einsetzen? Also: x = 4x + 3qx + 3qx + 2,25q²x \| -x 0 = 3x + 6qx + 2,25q²x \| /(x) 0 = 3 + 6q + 2,25q² \| /(9/4) --> Normalform und dann p/q-Formel 0 = q² + (24/9)q + 12/9 q = -12/9 +/- sqrt((12/9)² - 12/9) q = -12/9 +/- sqrt(16/9 - 12/9) q = -4/3 +/- 2/3 q1= -6/3 q2 = -2/3 Geht ihr d'accord???
08.07.2012, 11:05	mikroCG	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das bereits vor Anwendung von LaGrange sehen, dass für (x;y) --> (1;1) u (-1;-1) als herauskommen? Zumindest ist das eine Lösung eines Komilitonen. Gibt es da einen Merksatz, eine Esselsbrücke oder irgendwas in der Richtung, damit ich nicht auf rechnerische Irrwege komme?
08.07.2012, 18:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ob Merksatz, Eselsbrücke oder nicht, wichtig ist es allemal, dass du RICHTIG rechnest und das kann ich bei dir in der Folge jetzt nicht erkennen, mit d'accord sein ist also nichts Allerdings war dein Teilresultat im ersten Post richtig. Es ist immer wieder verwunderlich, dass in den meisten Fällen die Lagrangefunktion richtig angesetzt wird und dann viele beim Gleichungssystem scheitern. Der Ansatz $\begin{eqnarray} L(x, y, \lambda) = x^2 + y^2 - \lambda(x^2 + xy + y^2 -3) \end{eqnarray}$ führt zu $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x(1 - \lambda) = \lambda y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2y(1 - \lambda) = \lambda x \end{eqnarray}$ _____________________________ Wie du siehst, gibt es sehr wohl ein Symbol für Lambda Und nun kann mittels Division der beiden Gleichungen das Lambda mit einem Schlag eliminiert werden ... mY+

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