DGL lösen

08.07.2012, 13:44

Nord.Kind

DGL lösen

Meine Frage:
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:

y' = (x+y)^2

Meine Ideen:
Ich substituiere:

x+y=v(x)

=> dy/dy=v(x)/dx-1

also:

v(x)/dx-1=v(x)^2

weiter: v(x)=(V(x)^3)/3+x

Ja super...=/

Keine Ahnung wie es da weitergehen soll.

Bin für jede Hilfe dankbar!

08.07.2012, 14:06

komplexer

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RE: DGL lösen

Zitat:

Original von Nord.Kind
x+y=v(x)

=> dy/dy=v(x)/dx-1

falsch:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Nord.Kind

v(x)/dx-1=v(x)^2

weiter: v(x)=(V(x)^3)/3+x

Nach der Substitution erhält man folgende DGL:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v^{2}+1 \end{eqnarray*}$
Das ist eine Ricatti-DGL, welche sich durch TdV lösen lässt..

08.07.2012, 14:07

allahahbarpingok

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Kannst du vielleicht Latex verwenden, aboslut unleserlich.

08.07.2012, 14:34

Nord.Kind

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okey dann nochmal

$\begin{eqnarray*} y'=(x+y)^2 v(x)=x+y => \frac{dy}{dx}=v(x)'-1 = \frac{dv}{dx}-1 => \frac{dv}{dx}=1+v^2 \end{eqnarray*}$

Nach TDV folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{1+v^2}=1dx mit \frac{dv}{dx}= 1 => dv=dx folgt =>\frac{dv}{1+v^2}= 1dv =>\frac{dv}{1+v^2}= v \end{eqnarray*}$

Soweit so richtig? Das Rechnen mit dx/dv/dirgendwas fällt mir noch recht schwer...Die Grundlagen wurden uns nicht wirlich vermittelt.

Und wie man (1+v^2)^-1 integriert weiß ich auch nicht=/....

08.07.2012, 14:55

komplexer

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Zitat:

Original von Nord.Kind
okey dann nochmal

$\begin{eqnarray*} y'=(x+y)^2 v(x)=x+y => \frac{dy}{dx}=v(x)'-1 = \frac{dv}{dx}-1 => \frac{dv}{dx}=1+v^2 \end{eqnarray*}$

Nach TDV folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{1+v^2}=1dx \end{eqnarray*}$

bis hier ist alles ok.

Zitat:

Original von Nord.Kind
$\begin{eqnarray*} mit \frac{dv}{dx}= 1 => dv=dx folgt =>\frac{dv}{1+v^2}= 1dv =>\frac{dv}{1+v^2}= v \end{eqnarray*}$

Soweit so richtig? Das Rechnen mit dx/dv/dirgendwas fällt mir noch recht schwer...Die Grundlagen wurden uns nicht wirlich vermittelt.

Und wie man (1+v^2)^-1 integriert weiß ich auch nicht=/....

was Du hier tust weiß ich auch nicht so genau...
Wieso sollte:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1 \end{eqnarray*}$
gelten?
Ein paar Zeilen obendrüber galt noch:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v^{2}+1 \end{eqnarray*}$

Außerdem würde aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{1+v^2}=\mathrm{d}v \end{eqnarray*}$
das hier folgen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+v^2}=1 \end{eqnarray*}$

Schau Dir das Verfahren TdV nochmal an.
Ausgehend von folgender Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{v^{2}+1}=\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$
integrierst Du links nach v und rechts nach x.
Die Stammfunktion von
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$
ist:
$\begin{eqnarray*} \arctan x \end{eqnarray*}$

08.07.2012, 15:09

Nord.Kind

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Ich dachte weil ich substituiert habe könnte ich die Beziehung:

$\begin{eqnarray*} v(x)=x+y => v'(x)=1 =dv/dx=1 =>dv=dx \end{eqnarray*}$

ausnutzen=/

dx ist ja soweit ich weiß= int *dx=x

Somit wäre dv=v

So habe ich das gesehen.

Aber mache ich mal weiter mit dx statt dv

$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{1+v^2}= dx =>arctan(v)+c= x \end{eqnarray*}$
rücksubstituieren: tan(x+c)=y+x
$\begin{eqnarray*} =>tan(x+c)-x=y \end{eqnarray*}$

Und nun aber nochmal die Frage: Warum genau brauche ich dx nicht mehr mit dv zu ersetzen?...=/

08.07.2012, 15:20

Nord.Kind

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Ah ok ich sehe gerade - da y eine Funktion ist, die abhängig von x ist folgt nicht

dv/dx=1 sondern dv/dx=1+dy/dv

wie gesagt - dx/dy Rechenregeln etc sind mir nicht besonders geläufig.

Wenn da jmd nen guten Link zu hat wäre ich auch sehr dankbar!

08.07.2012, 15:36

komplexer

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Zitat:

Original von Nord.Kind
$\begin{eqnarray*} \frac{dv}{1+v^2}= dx =>arctan(v)+c= x \end{eqnarray*}$
rücksubstituieren: tan(x+c)=y+x
$\begin{eqnarray*} =>tan(x+c)-x=y \end{eqnarray*}$

Wenn mans genau nimmt, müsste die Lösung nach Deiner Rechnung so aussehen:
$\begin{eqnarray*} y(x)=\tan(x-c)-x \end{eqnarray*}$
Da c aber eine unbestimmte Konstante ist spielt das keine Rolle.

Zitat:

Original von Nord.Kind
Und nun aber nochmal die Frage: Warum genau brauche ich dx nicht mehr mit dv zu ersetzen?...=/

Gegenfrage: Warum solltest Du das tun?
Das Verfahren heißt ja Trennung der Veränderlichen. Ein wesentlicher Aspekt ist eben die Trennung der Variablen auf verschiedene Seiten. Wenn Du dann die Variablen angleichst wäre das ziemlich sinnlos, oder?

08.07.2012, 15:39

komplexer

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Zitat:

Original von Nord.Kind
Ah ok ich sehe gerade - da y eine Funktion ist, die abhängig von x ist folgt nicht

dv/dx=1 sondern dv/dx=1+dy/dv

Nein, es folgt:
$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=1+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{eqnarray*}$

08.07.2012, 15:45

Huggy

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Zitat:

Original von Nord.Kind
Und nun aber nochmal die Frage: Warum genau brauche ich dx nicht mehr mit dv zu ersetzen?...=/

Du hast

$\begin{eqnarray*} v'(x) =\frac{dv}{dx}=1+v^2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} (*) \quad\frac {v'}{1+v^2}=\frac{1}{1+v^2}\frac {dv}{dx}=1 \end{eqnarray*}$

Das Umschreiben von (*) in

$\begin{eqnarray*} \frac {dv}{1+v^2}=dx \end{eqnarray*}$

durch formales Multiplizieren mit dx ist nur eine Merkregel für das, was man wirklich macht. Man integriert (*) auf beiden Seiten über x:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+v^2}\frac {dv}{dx}dx=\int 1 dx \end{eqnarray*}$

Und auf der linken Seite ergibt sich nach der Substitionsregel

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{1+v^2}\frac {dv}{dx}dx= \int \frac {dv}{1+v^2} \end{eqnarray*}$

08.07.2012, 16:01

Nord.Kind

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Das mit der Konstanten habe ich absichtlich gemacht - wie du ja selber sagst - egal ob Minus oder Plus=)

Und bei dem dy/dv habe ich mich unglücklicherweise verschrieben...sollte natürlich dy/dx heißen Augenzwinkern

Aber vielen Dank nochmal!

Auch an Huggy nochmal vielen Dank für die Hilfe!

Habt mir sehr weitergeholfen!

Wenn mir jetzt noch vllt Jemand einen Link oder Tipp zur Herleitung der Herleitung von INT 1/(1+v^2) dv geben kann ?

Vielen Dank nochmal!

08.07.2012, 17:01

Huggy

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Zitat:

Original von Nord.Kind
Wenn mir jetzt noch vllt Jemand einen Link oder Tipp zur Herleitung der Herleitung von INT 1/(1+v^2) dv geben kann ?

Das folgt ja direkt aus

$\begin{eqnarray*} \frac {d \arctan x}{dx}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Man kann höchstens noch die Ableitung des Arcustangens aus der Ableitung des Tangens herleiten. Dazu benutzt man, dass bei $\begin{eqnarray*} y=f(x), \quad x=f^{-1}(y) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac {dx}{dy}} \end{eqnarray*}$

Angewandt auf

$\begin{eqnarray*} y= \arctan x, \quad x = \tan y \end{eqnarray*}$

bekommt man:

$\begin{eqnarray*} \frac {dy}{dx}= \frac {d \arctan x}{dx}=\frac {1}{\frac {dx}{dy}}=\frac{1}{\frac {d \tan y}{dy}}= \frac {1}{\frac {1}{\cos^2 y}}=\cos^2 y= \frac {1}{1+\tan^2 y}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

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