Konvergenz von Folgen bestimmen

08.07.2012, 15:51

haertz

Konvergenz von Folgen bestimmen

Guten Tag zusammen!
Ich sitze grade an 3 Aufgaben, in denen ich die Konvergenz von Folgen bestimmen soll.

http://www.img-host.de/bild.php/72098,unbenanntaU5IJD.jpg

Aufgabe a) war kein Problem. Habe den höchsten Exponenten ausgeklammert (n^4) und kam so auf den Grenzwert 1/2.

Aufgabe b) Hier habe ich wirklich nichtmal einen Ansatz - das Quotientenkriterium hilft mir ja nicht, da ich ja nicht zeigen soll ob es divergiert oder konvergiert, sondern den Grenzwert bestimmen soll.

Aufgabe c) Habe ich genau so einen Hänger wie in Aufgabe b)...

Hat jemand irgendwelche Tipps zum herangehen dieser 2 Aufgaben für mich?

Gruß

08.07.2012, 16:02

shipwater

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RE: Konvergenz von Folgen bestimmen
Hallo,

b) $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine beschränkte Folge, $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine konvergente (also auch beschränkte) Folge und $\begin{eqnarray*} (e^{-n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge. Kommst du damit schon weiter?
c) Stichwort: Geometrische Reihe

Gruß Shipwater

08.07.2012, 17:48

haertz

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RE: Konvergenz von Folgen bestimmen

Zitat:

Original von shipwater
Hallo,

b) $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine beschränkte Folge, $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine konvergente (also auch beschränkte) Folge und $\begin{eqnarray*} (e^{-n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge. Kommst du damit schon weiter?
c) Stichwort: Geometrische Reihe

Gruß Shipwater

Vielen Dank schonmal für die Hinweise - habe allerdings noch Fragen offen.
Zur b) $\begin{eqnarray*} ((-1)^n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ alternierd ja, das ist soweit klar. Die Konvergenz und den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}\right)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen ist auch nicht das Problem.
$\begin{eqnarray*} (e^{-n})_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ als Nullfolge ist soweit auch klar.
Also kann ich die einzelnen Produkte betrachten und den Grenzwert daraus schließen?

Zur c) Mir fällt bei der Geometrischen Reihe grade nur ein, dass sofern $\begin{eqnarray*} |q| < 1 \end{eqnarray*}$ der Grenzwert mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ berechnet wird.
Aber in diesem Falle ist doch q = 4 oder täusche ich mich?

Gruß

08.07.2012, 17:59

shipwater

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b) Das Produkt aus einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist selbst eine Nullfolge. Das hatte ich ursprünglich vor zu benutzen. Die ersten beiden Faktoren sind ja beschränkt (also auch ihr Produkt) und der letzte Faktor konvergiert gegen null.
c) Du täuscht dich. Es heißt ja nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 4^k \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 4^{-k} \end{eqnarray*}$
Da solltest du mal ein bisschen mit den Potenzgesetzen rumspielen.

Gruß Shipwater

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