Quotientenkriterium

08.07.2012, 23:44

Cheftheoretiker

Quotientenkriterium

Hallo,

ich habe folgende Reihe die ich auf Konvergenz untersuchen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(k+1)!}{2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2k} \end{eqnarray*}$

Ich habe dazu das Quotientenkriterum angewendet und bin auf folgenden Ausdruck gekommen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(k+2)!\cdot 2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2k}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2(k+1)\cdot (k+1)!} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich gekürzt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(k+2)k}{k+1} \end{eqnarray*}$

Nun sieht man ja schon das die Reihe divergiert. Laut Lösung soll sie aber konvergieren, habe ich einen Fehler gemacht? verwirrt

09.07.2012, 00:02

Zizou66

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Versuche n und k sauber zu unterscheiden, das würde für uns einiges klarer machen.

Bei alternierenden Summanden versucht man zunächst das Leibniz-Kriterium.

09.07.2012, 00:07

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Zizou66
Versuche n und k sauber zu unterscheiden, das würde für uns einiges klarer machen.

Bei alternierenden Summanden versucht man zunächst das Leibniz-Kriterium.

Ups, du hast recht.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(n+1)!}{2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)!\cdot 2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2n}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2(n+1)\cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)n}{n+1} \end{eqnarray*}$

So muss es lauten... Forum Kloppe

09.07.2012, 00:14

Mulder

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Da steht ja immer noch ein k. verwirrt

Und:

Zitat:

Original von Zizou66
Bei alternierenden Summanden versucht man zunächst das Leibniz-Kriterium.

09.07.2012, 00:30

Cheftheoretiker

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Zitat:

Original von Mulder
Da steht ja immer noch ein k. verwirrt

Und:

Zitat:

Original von Zizou66
Bei alternierenden Summanden versucht man zunächst das Leibniz-Kriterium.

Es soll aber mit dem Quotientenkriterium gelöst werden.

09.07.2012, 00:40

Mulder

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Zitat:

Original von hangman
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)\color{red}n\color{black}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Wo kommt dieses (von mir rot gemalte) n bei dir her? verwirrt

Außerdem kürzt du falsch. Im Schritt vorher steht im Nenner noch 2(n+1). Was passiert bei dir mit dieser 2?

09.07.2012, 00:59

Cheftheoretiker

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$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)!\cdot 2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2n}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot 2(n+1)\cdot (n+1)!} \end{eqnarray*}$

Habe ich nun folgendermaßen gekürzt,

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)(n+1)n!\cdot 2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2n}{2\cdot 4\cdot 6\cdot...\cdot 2(n+1)\cdot(n+1)n!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)2n}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Dann noch die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gekürzt,

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Habe ich dort einen Rechenfehler rein gehauen? verwirrt

09.07.2012, 01:04

Mulder

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Bei dem Produkt

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} 2i \end{eqnarray*}$

steckt doch auch noch der Faktor 2n mit drin. Also hast du

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)(n+1)n!\cdot 2\cdot 4\cdot 6 \cdot ...\cdot 2n}{2\cdot 4\cdot 6\cdot... \color{red}\cdot 2n \color{black} \cdot 2(n+1)\cdot(n+1)n!} \end{eqnarray*}$

Schau jetzt nochmal, was sich da so alles wegkürzt.

09.07.2012, 01:10

Cheftheoretiker

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Dann müsste es ja folgendermaßen aussehen... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+2)}{2(n+1)} \end{eqnarray*}$

Vielen Dank! smile

09.07.2012, 09:08

Valdas Ivanauskas

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RE: Quotientenkriterium

Zitat:

Original von hangman
Hallo,

ich habe folgende Reihe die ich auf Konvergenz untersuchen soll.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(k+1)!}{2\cdot 4\cdot 6...\cdot 2k} \end{eqnarray*}$

Sollte es um diese Reihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(n+1)!}{2\cdot 4\cdot 6\cdot\ldots\cdot 2n} \end{eqnarray*}$

gehen, dann böte sich eine kleine Umformung an,
die ein anschließendes Kürzen des Bruches ermöglichte
und zudem die abs. Kgz der Reihe offenbarte
- und das ganz ohne Quot- oder Leibniz-Krit.

Beachte dabei:

$\begin{eqnarray*} \prod_{k=1}^n\frac 1{2k}=\frac 1{n!\cdot 2^n}. \end{eqnarray*}$

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