Ebene Kurven Gleichung für Tangente und Normale gesucht

09.07.2012, 08:45

studentx

Ebene Kurven Gleichung für Tangente und Normale gesucht

Meine Frage:
Guten morgen, ich hab ihr 3 Aufgaben bei denen ich nicht weiter weiß:
1) $\begin{eqnarray*} y²+x²=25, x_{0} =3 \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} r=r(phi)=phi, phi_{0}=\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} r=r(phi)=e^{\frac{phi}{3} } , phi_{0}=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit der Form: $\begin{eqnarray*} y=x^{x} -2 , x_{0} =2 \end{eqnarray*}$ hatte ich keine Probleme, da war die Vorgehensweise wie folgt:
$\begin{eqnarray*} y_{0}=f(x_{0})=2³-2=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m= f'(x_{0})=12 \end{eqnarray*}$ daraus ergeben sich die Tangente(12x-18) und Normale(-1/12x+37/6) durch die Gleichung $\begin{eqnarray*} y=y_{0} +m(x-x_{0}) \end{eqnarray*}$

zu 1) Da dachte ich ich stell dir Gleichung erstmal um:
1) $\begin{eqnarray*} y²=25-x² \end{eqnarray*}$ , dann hab ich versucht vorzugehen wie oben, aber kam nicht auf die richtige Lösung

zu 2) und 3) hier muss man denke ich mal ganz anders vorgehen, aber ich habe keine Ahnung wie

Ich hoffe ihr könnt mir helfen smile

09.07.2012, 10:38

original

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RE: Ebene Kuvren Gkeichung für Tangente und Normale gesucht

Zitat:

Original von studentx

ich nicht weiter weiß:
1) $\begin{eqnarray*} y²+x²=25, x_{0} =3 \end{eqnarray*}$ verwirrt

Mit der Form: $\begin{eqnarray*} y=x^{x} -2 , x_{0} =2 \end{eqnarray*}$ hatte ich keine Probleme Prost

->

da kannst du auch ohne Kenntnisse der Differentialrechnung wohl eine Tangente
und den Berührradius im Punkt (3/4) des kreisrunden Dings aufschreiben..

aber wenn du gerne ableitest: mach es implizit

Wink

09.07.2012, 11:14

studentx

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$\begin{eqnarray*} y_{0} ²=25-x_{0} ² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{0} ²=25-9 =16 \Rightarrow y_{0}=\pm 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m=-\frac{x}{y} \Rightarrow m_{1} =-\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} m_{2} =\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

09.07.2012, 11:15

Ehos

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Aufgabe 2)
Ebene Polarkoordinaten lauten allgemein

$\begin{eqnarray*} \vec x=\begin{pmatrix} x \\ y \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot \cos(\phi) \\ r\cdot \sin(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei deiner speziellen Kurve ist $\begin{eqnarray*} r(\phi)=\phi \end{eqnarray*}$ . Einsetzen ergibt

$\begin{eqnarray*} \vec x(\phi)=\begin{pmatrix} \phi \cdot \cos(\phi) \\ \phi \cdot \sin(\phi) \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Allgemein ist der tangentiale Vektor die Ableitung der Kurve nach dem Kurvenparameter - hier also nach $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{d\phi}=\begin{pmatrix} \cos(\phi)-\phi\cdot \sin(\phi) \\ \sin(\phi)+\phi \cdot \cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der normalen Vektor $\begin{eqnarray*} \vec x_{\perp} \end{eqnarray*}$ , der sowohl senkrecht auf der Tangentenvektor $\begin{eqnarray*} \tfrac{d\vec x}{d\phi} \end{eqnarray*}$ als auch senkrecht auf der Blattnormalen $\begin{eqnarray*} \vec n_3=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ steht, ist das Kreuzprodukt

$\begin{eqnarray*} \vec x_{\perp}=\tfrac{d\vec x}{d\phi} \times \vec n_3 \end{eqnarray*}$

Berechne beide Vektoren an der Stelle $\begin{eqnarray*} \phi=\tfrac{\pi}{2}=90° \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe 3)
geht im Prizip genauso.

09.07.2012, 12:26

studentx

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ich danke dir smile

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