Integral durch Substitution lösen

09.07.2012, 14:34

134340

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Integral durch Substitution lösen

Hi Matheboarduser Wink

Wink

ich verstehe die Integration durch Substitution einfach nicht.

Es geht um das bestimmte Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \sqrt[3]{a^2+x^2} \, dx \end{eqnarray*}$ .
Als Substitution fällt sofort $\begin{eqnarray*} g:x \to t=a^2+x^2 \end{eqnarray*}$ auf. Die Stammfunktion von g(x) ist $\begin{eqnarray*} F(t)=\frac{3}{4} t^\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$ .
Aber wie geht es jetzt weiter?

09.07.2012, 14:46

mYthos

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... die Ableitung von g nach t berechnen, den Differentialoperator dx durch dt ersetzen ...

Aber es ist sehr zu bezweifeln, ob dies hier zum Erfolg führt!

mY+

09.07.2012, 14:49

134340

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Zitat:

Original von mYthos
... die Ableitung von g nach t berechnen, den Differentialoperator dx durch dt ersetzen ...

Ich werde das mal versuchen ... moment.

Zitat:

Original von mYthos
Aber es ist sehr zu bezweifeln, ob dies hier zum Erfolg führt!

Was ist zu bezweifeln? Die Substitution an sich oder meine Substitution mit $\begin{eqnarray*} g:x \to t=a^2+x^2 \end{eqnarray*}$ ?

09.07.2012, 14:55

mYthos

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Ich meinte damit, dass dieses Integral auf diese Weise nicht zu lösen ist.
Vielleicht numerisch, mit einem bestimmten Wert für a.

mY+

09.07.2012, 15:08

134340

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Kann man nicht einfach einen wert für a annehmen? Also z.B. 3

09.07.2012, 15:39

mYthos

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Natürlich. Aber es ändert nichts an der Tatsache, auch damit kann das Integral m.E. nicht (einfach) gelöst werden.

mY+

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09.07.2012, 15:52

134340

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Ok, dann werde ich da nochmal meinen Lehrer fragen, wie ich das berechnen soll.

Können wir dann noch mal ein anderes Integral durch Substitution berechnen?

Es geht um $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, dx \end{eqnarray*}$

09.07.2012, 15:54

mYthos

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Das hier geht ganz leicht, denn hier "greift" die Substitution.

mY+

09.07.2012, 16:09

134340

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"ganz leicht" ist auch wieder so eine Sache Big Laugh

Big Laugh

Die Substitution ist $\begin{eqnarray*} g:x \to t=x^2 +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, dx = \int_1^2 \! \frac{2x}{\sqrt{t} } \, dx \end{eqnarray*}$ oder?

und wie gehts dann weiter?

09.07.2012, 16:16

Cheftheoretiker

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Da mYthos offline ist, mache ich mal weiter.

$\begin{eqnarray*} t=x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dt}{dx}=2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx=\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

Also haben wir,

$\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac{2x}{\sqrt{t}}\cdot\frac{1}{2x}dt \end{eqnarray*}$

Ich denke mal jetzt sollte es klar sein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.07.2012, 16:37

134340

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achsoo

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, dx = \int_1^2 \! \frac{dt}{\sqrt{t} } \, dx = \left[2 \sqrt t\right]^2_1 = 2(\sqrt 2 -1) \end{eqnarray*}$

Eine kleine Frage am Rande: wie kommt man auf die Stammfunktion $\begin{eqnarray*} F=2 \sqrt t \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt t} \end{eqnarray*}$ ? Ich habe das jetzt durch meine Stammfunktionsliste von Wiki rausgefunden.

09.07.2012, 16:43

Cheftheoretiker

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Das ist Murks was du dort geschrieben hast,

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, dx = \int_1^2 \! \frac{dt}{\sqrt{t} } \, dx = \left[2 \sqrt t\right]^2_1 = 2(\sqrt 2 -1) \end{eqnarray*}$

Wieso taucht dort plötzlich ein $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ wieder auf wenn du doch substituiert hast?

Du musst den Ausdruck etwas umschreiben, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und nun mit $\begin{eqnarray*} \frac{t^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$ integrieren.

09.07.2012, 18:46

134340

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Zitat:

Original von hangman
Das ist Murks was du dort geschrieben hast,

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, dx = \int_1^2 \! \frac{dt}{\sqrt{t} } \, dx = \left[2 \sqrt t\right]^2_1 = 2(\sqrt 2 -1) \end{eqnarray*}$

Wieso taucht dort plötzlich ein $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ wieder auf wenn du doch substituiert hast?

Weil ich vergessen hab das dx beim Formeleditor rauszunehmen^^

Danke für eure Hilfe Big Laugh

Big Laugh

Freude

Jetzt hab ich das endlich verstanden

09.07.2012, 18:50

Cheftheoretiker

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Kein Problem.

Viele Grüße, hangman. Wink

Wink

10.07.2012, 07:47

134340

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$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{2x}{\sqrt{x^2+1} } \, = \int_1^2 \! \frac{dt}{\sqrt{t} } \, = \left[2 \sqrt t\right]^2_1 = 2(\sqrt 2 -1) \end{eqnarray*}$

Ich hab noch eine kleine Frage: wenn man einen Bruch substituiert, muss dann der Zähler immer eine Ableitung der Substitution des Nenners sein oder war das hier nur Zufall?

10.07.2012, 13:35

Cheftheoretiker

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Es kommt immer darauf an was du für eine Funktion hast. Man sagt ja schließlich so schön, das ableiten Handwerk ist und integrieren Kunst. Big Laugh

Big Laugh

Mach doch mal ein Beispiel was du genau meinst, dann kann man dir auch sagen wie man dort vorgehen müsste... smile

smile

Viele Grüße, hangman!

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