Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse

10.07.2012, 10:22	Math4Fun	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse Hallo, ich stehe vor folgender Frage. Ich habe hier zwei unabhängige Zufallsprozesse die spätestens nach zwei Sekunden gleichverteilt auftreten. Meine Frage ist nun, wie kann ich die mittlerer Wartezeit (den Erwartungswert?!) bis beide Prozesse auslösen bestimmen. Mein Ansatz: Die Dichtfunktion der beiden Prozesse ist: $\begin{eqnarray} \int_a^b f(t)dt = \int_0^2 f(t)dt \end{eqnarray}$ Faltungsintegral: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(z) = \int_a^b f_X(t) f_Y(z-t) dt \end{eqnarray}$ Da beide gleichverteilt auf $\begin{eqnarray} [0,2] \end{eqnarray}$ sind. Gilt $\begin{eqnarray} f(t) = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ für beide Dichtefunktionen. Also: $\begin{eqnarray} f_{X+Y}(z) = \int_a^b f_X(t) f_Y(z-t) dt = \int_0^2 \frac{1}{2}\frac{1}{2} dt = \int_0^2 \frac{1}{4} dt = [\frac{1}{4}t]_0^2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Müsste das Faltungsintegral nicht 1 ergeben? Und sollte der Erwartungswert in diesem Fall nicht auch 1 sein? Im voraus vielen Dank für eure Hinweise!
10.07.2012, 11:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse Da die mittlere Wartezeit für das Auftreten jedes der beiden Ereignisse 1 ist, sollte die mittlere Wartezeit bis zum Eintreten beider Ereignisse nach gesundem Menschenverstand doch größer 1 sein. Am einfachsten gehst du über die Verteilungsfunktion. Es seien $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ die beiden Ereignisse mit $\begin{eqnarray} P(X_1 \leq t) = P(X_2 \leq t)=F_{X_1}(t)=F_{X_2}(t) \end{eqnarray}$ Es sei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ das Ereignis, dass $\begin{eqnarray} X_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ beide eingetreten sind. Da die beiden Ereignisse unabhängig sind, hat man $\begin{eqnarray} P(Y \leq t)=F_Y(t)=F_{X_1}(t)F_{X_2}(t) \end{eqnarray}$ Daraus bekommst du durch Ableiten die Dichtefunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ und mit der kannst du dann $\begin{eqnarray} E(Y) \end{eqnarray}$ ausrechnen.
10.07.2012, 16:14	Math4Fun	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse $\begin{eqnarray} P(X_i \leq t) = \frac{x}{2} \end{eqnarray}$ Dichtefunktion ist damit $\begin{eqnarray} \int_0^2 \frac{x^2}{4} dx \end{eqnarray}$ und der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(x) = \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Soweit richtig?
10.07.2012, 16:30	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse Das Ergebnis ist richtig. Der Rechenweg ist falsch ausgedrückt. Man hat $\begin{eqnarray} F_Y(t)=\frac{t^2}{4} \end{eqnarray}$ Dann ist die Dichtefunktion $\begin{eqnarray} f_Y(t)=\frac {d F_Y(t)}{dt}=\frac {t}{2} \end{eqnarray}$ Dann ist der Erwartungswert $\begin{eqnarray} E(Y)=\int\limits_0^2 t f_Y(t)dt=\int\limits_0^2 \frac {t^2}{2}dt=\frac {4}{3} \end{eqnarray}$
11.07.2012, 09:41	Math4Fun	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse Vielen Dank für den Hinweis bzgl. der Schreibweise. Die letzte Stochastikveranstalltung ist wohl doch schon eine Weile her.
11.07.2012, 09:45	Math4Fun	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erwartungswert für das auftreten zweier zufälliger Ereignisse Ich denke, der Thread ist damit zu Ende. Vielen Dank! //CLOSED//
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