Definitionsbereich von Reihen, Konvergenz

30.01.2007, 19:46

Sebi19

Definitionsbereich von Reihen, Konvergenz

Hallo
ich habe mal eine grundsätzliche Frage zur Definitionsbereich einer Reihe, es kann ja vorkommen, dass eine Reihe für ein bestimmtes n bzw. x nicht definiert ist. zum Beispiel wenn im nenner 1-nx steht, dann ist diese Reihe ja nicht für x=1/n definiert!!!

Meine Frage dazu: Ist diese Reihe somit für x=1/n nicht definiert und muss nicht weiter auf Konvergenz untersucht werden oder schließt man diesen Punkt einfach aus und untersucht sie dennoch auf Konvergenz? Ich hoffe meine Frage ist verständlich.

Meiner Meinung nach braucht man sie gar nicht mehr untersuchen weil sie ja nicht definiert ist und somit kann keine Aussage über Konvergenz/Divergenz gemacht werden, oder???

31.01.2007, 00:08

Abakus

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RE: Definitionsbereich von Reihen, Konvergenz
Du schließt den Punkt aus und untersuchst natürlich weiter. Interessanterweise geben dir diese "Pole" (wenn es denn welche sind) allerdings bereits Hinweise auf den Konvergenzradius.

Grüße Abakus smile

31.01.2007, 22:12

Sebi19

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Ja ich meine es jetzt auch in der art, dass ich z.b. das quotientenkriterium anwende und meinen konvergenzradius bereits habe. jetzt untersuche ich noch die grenzen und stelle bspw. fest, dass die reihe für -1 gar nicht definiert ist, also kann ich doch sagen dass sie dann für -1 nicht definiert ist und fertig oder???

01.02.2007, 08:26

klarsoweit

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Ich sage mal, prinzipiell ja. Es wäre aber wohl geschickter, wenn du hier mal ein konkretes Beispiel reinstellst.

01.02.2007, 08:58

Sebi19

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Also gut, hier habe ich mal ein schönes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{x^n}{1+nx} \end{eqnarray*}$

MIt dem Quotientenkritierum bekommt man, nach umformen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x} = x \end{eqnarray*}$

Betrag x <1 Konvergenz, Betrag x >1 Divergenz

für 1 erhält man die harmonische Reihe! Divergenz

und für x = -1 ist die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{1-n} \end{eqnarray*}$ nicht definiert, da der Summand bei n=1 nicht definiert ist! Damit kann keine aussage gemacht werden, oder???

EDIT: Latex korrigiert (klarsoweit)

01.02.2007, 09:39

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Zitat:

Original von Sebi19
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{x^n}{1+nx} \end{eqnarray*}$

MIt dem Quotientenkritierum bekommt man, nach umformen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x} = x \end{eqnarray*}$

Zwei kleine Korrekturen: Du meinst natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x} = 1 \end{eqnarray*}$

und außerdem generell Reihenindex $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ statt des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , welches du da immer geschrieben hast.

Was die Konvergenzkriterien betrifft: Die kümmern sich natürlich nur um das Verhalten der Reihenglieder für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . Ob diese Reihenglieder möglicherweise für maximal endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert sind, kümmert die kein bisschen. Da muss extra drauf geachtet werden, ansonsten ist die Reihe ja gar nicht vernünftig definiert, womit sich Konvergenz- oder Divergenzbetrachtungen sowieso erübrigen.

EDIT: Das mit dem Grenzwert ist natürlich Unsinn, s.u. Augenzwinkern

01.02.2007, 09:44

Dual Space

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Zwei kleine Korrekturen: Du meinst natürlich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x \frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x} = 1 \end{eqnarray*}$

Auch auf die Gefahr hin, dass ich mich auf dünnem Eis bewege (hatte gestern ne lange Nacht und nun einen Schädel, den ich grad so durch die Bürotür pressen konnte) möchte ich doch folgendes einwenden:

$\begin{eqnarray*} x \underbrace{\frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x}}_{\to 1\text{~as~} n\to\infty}\to x \end{eqnarray*}$

01.02.2007, 09:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ob diese Reihenglieder möglicherweise für maximal endlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert sind, kümmert die kein bisschen. Da muss extra drauf geachtet werden, ansonsten ist die Reihe ja gar nicht vernünftig definiert, womit sich Konvergenz- oder Divergenzbetrachtungen sowieso erübrigen.

Im Zweifelsfall kann man sich so behelfen:
Ist a_n(x) eine Folge und $\begin{eqnarray*} D_x = \{n~|~a_n(x) \text{ ist definiert}\} \end{eqnarray*}$ dann schreibt man die Reihe so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0, n \in D_x}^{\infty}~a_n(x) \end{eqnarray*}$

01.02.2007, 11:50

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Ja, Stefan, hast natürlich recht, ich hab immer nur

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n} + x}{\frac{1}{n}+\frac {x}{n}+x} = 1 \end{eqnarray*}$

gelesen, hatte wohl heute früh noch Schlaf in den Augen
und/oder Potenzreihen im Kopf (obwohl die hier direkt nix zu suchen haben). Big Laugh

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