Aufgabe Lineare Optimierung mit Simplexverfahren

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10.07.2012, 18:00	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Lineare Optimierung mit Simplexverfahren Hallo, ich bin neu hier und habe folgendes Problem: Ich schreibe am Donnerstag eine Klausur in Wirtschaftsmathematik und bekomme diese Aufgabe einfach nicht raus. Zur Information, ich befinde mich momentan im BWL-Grundstudium. Aufgabe: Ein Unternehmen stelle u. a. mit zwei Maschinen zwei Produkte her. Für die Produktion der zwei Güter stehen die folgenden maximalen wöchentlichen Maschinenkapazitäten zur Verfügung: 40 Std. für Maschine 1 und 30 Std. für Maschine 2. Ein Stück von Produkt 1 beansprucht 2 Min. der Maschine 1 und 1 Min. der Maschine 2. Ein Stück von Produkt 2 beansprucht 1 Min. der Maschine 1 und 1 Min. der Maschine 2. Unabhängig von der Produktionsmenge kann mit Produkt 1 ein Stückgewinn von 10 GE erzielt werden; für Produkt 2 sind dies 20 GE. a. Formulieren Sie die Zielfunktion und die Restriktionen für dieses Problem der linearen Optimierung. b. Lösen Sie das Problem graphisch und kennzeichnen Sie dabei den Lösungsraum. Bei welchen wöchentlichen Produktionsmengen der Produkte 1 und 2 wird der Gewinn maximiert ? Gibt es freie Kapazitäten, ggf. welche ? Ich hoffe mir kann jemand schnell helfen !!
10.07.2012, 18:30	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das Wichtigste ist es die Variablem zu definieren. $\begin{eqnarray} x_1=\textrm{Produktionsmenge von Produkt 1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=\textrm{Produktionsmenge von Produkt 2} \end{eqnarray}$ Information für erste Restriktion (Maschine 1): Ein Stück von Produkt 1 beansprucht 2 Min. der Maschine 1. Ein Stück von Produkt 2 beansprucht 1 Min. der Maschine 1. Kapazität der Maschine 1 ist 40 Std. : Die 40 Stunden müssen noch in Minuten umgerechnet werden. Maschinenrestriktion (Maschine 1): $\begin{eqnarray} \textrm{benötigte Zeit des Produkts 1 bei Machine 1 $\cdot$ $x_1$} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \textrm{+ benötigte Zeit des Produkts 2 bei Maschine 1 $\cdot$ $x_2$ $\leq$ Kapazitat der Maschine 1} \end{eqnarray}$ Kannst du die erste Restriktion (Maschine 1) aufstellen? Mit freundlichen Grüßen.
11.07.2012, 13:38	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Kasen75, Danke für deine Antwort !! Aufgabe a müsste folgendermaßen lauten: 2x1+1x2 <= 40 1x1+1x2 <= 30 x1, x2 >= 0 Zielfunktion 10x1 + 20x2 ;max Aber bei b weiß ich nicht weiter. Wie komme ich auf die Geradengleichung (y= ...), die ich dann einzeichnen kann ??
11.07.2012, 14:29	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich korrigiere mich: 2x1+1x2 <= 2400 1x1+1x2 <= 1800 x1, x2 >= 0 Zielfunktion 10x1 + 20x2 > max Ich würde jetzt folgendes in ein Koordinatensystem zeichnen: 1. Gerade: bei x1 =1200 und bei x2 = 2400 2. Gerade: bei x1 =1800 und bei x2 = 1800 (siehe Zeichnung - sorry für meine schlimme Schrift) Stimmt das so ?? Und wenn ja, bei welchen wöchentlichen Produktionsmengen der Produkte 1 und 2 wird der Gewinn maximiert ? Gibt es freie Kapazitäten, ggf. welche ?
11.07.2012, 14:55	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo DonHup46, schön, dass es mit der Zeichnung noch geklappt hat. Da es nur eine Ecke gibt kann man die optimalen Produktionsmengen direkt ablesen. Wenn man es korrekt macht, zeichnet man die Zielfunktion im Punkt (0/0) ein. Auch wieder nach $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ auflösen. Dann verschiebt man die Zielfunktion parallel so lange nach rechts oben bis die letzte äußere Ecke (hier nur eine) die Zielfuntion noch berührt. (Beispiel angehängt) Die Ecke, die dann die Zielfunktion noch berührt, zeigt auch an, bei welchen Produktionsmengen $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ die Zielfunktion maximiert wird (ablesen). Jetzt hast du die optimalen Produktionsmengen. Die kannst du jetzt in die Nebenbedingungen einsetzen. Wenn z.B. bei der ersten Nebenbedingung 2400 herauskommt, hast du keine Kapazitäten mehr bei Maschine 1. Käme aber z.B 2100 heraus, dann hättest du noch 300 Maschinenminuten freie Kapazitäten bei Maschine 1. Mit freundlichen Grüßen.
11.07.2012, 16:46	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich es fast verstanden !! ^^ Nur habe ich in meiner Zeichnung am rechten Hand eine kleine Nebenrechnung erstellt und ich weiß nicht ob sie richtig ist ?? Mein Maximum laut Zeichnung liegt bei x1 = 600 min und x2 = 1200 min. Bis dahin ist soweit alles klar. Nur wie komme ich dann von max. Minuten auf die maximale Stückzahl (St.) ?? Kann man wie es in der Zeichnung gemacht habe, einfach 600 min durch 60 min (=1 Std.) teilen ??
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11.07.2012, 17:10	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo DonHup46, du schreibst: "Nur wie komme ich dann von max. Minuten auf die maximale Stückzahl?" Die maximale Stückzahl kannst du in der Grafik ablesen. $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ sind jeweils die Produktionsmengen. Ich habe des am Anfang ja geschrieben (nochmal nachlesen). Das Wichtigste ist die Variablendefinition. Wie groß sind denn $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ im optimalem Punkt? Da musst du nichts mehr umrechnen. Auf jeden Fall ist diese Aussage. falsch: Mein Maximum laut Zeichnung liegt bei x1 = 600 min und x2 = 1200 min. Um jetzt zu ermitteln, wieviel Kapazitäten bei Maschine 1 in Anspruch genommen werden, nimmt man die optimale Lösung und setzt diese in diese in die 1. Restriktion ein. Bleibt was übrig (weniger als 2400), ist die Kapazität nicht voll ausgeschöpft. Dies wäre auch die Restkapazität. Ich glaube deine Nebenrechnung ist nicht zielführend. Mit freundlichen Grüßen.
11.07.2012, 18:14	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, stimmt. Ich verstehe nur nicht, wieso dann bei der Aufgabe für x1=0 und x2=30 (laut meinen Lösungen) rauskommen soll, wenn ich in der Grafik x1=600 und x2=1200 ablese ?? Habe ich vielleicht in der Zeichnung etwas falsch gemacht ?? Laut meinen Lösungen kommen keine freien Kapazitäten raus. Es wäre wirklich sehr hilfreich für mich, wenn du mir hier noch weiterhelfen könntest, da meine Prüfung morgen um 11 Uhr stattfindet. Viele Grüße
11.07.2012, 18:38	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe auch keine Zielfunktion eingezeichnet. Wie komme ich von 10x1 + 20x2 -> max auf die Geradengleichung ??
11.07.2012, 18:39	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe nochmal Alles nachgeschaut. Ich kann nicht erkennnen, dass wir einen Fehler gemacht haben. Die Lösung (600/1200) müsste stimmen. Du bekommst auch keine freien Kapazitäten. Wenn du jeweils 600 und 1200 für $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ in die Nebenbedingungen einsetzt bekommst du genau 2400 und 1800 heraus. Also keine Restkapazitäten. Die angegebene Lösung stimmt nur, wenn man die Kapazitätsstunden nicht in Minuten umrechnet. Das macht insofern keinen Sinn, weil die beanspruchte Zeit eines Produkts in Minuten angegeben ist. Also ist die von dir ermittelte Lösung meiner Meinung richtig. Wenn man logisch denkt, kann man auch sicher mehr als 30 Stück von $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ produzieren. Kurzum: Du hast nichts falsch gemacht. Es gibt auch bei "unserer" Lösung keine freien Kapazitäten. Mit freundlichen Grüßen.
11.07.2012, 19:08	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zielfunktion löst man nach $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ auf: 10x1 + 20x2=0 x2=-0,5x1 Mit der Steigung von -0,5 in P(0/0) einzeichnen. Dann soweit parallel* verschieben, bis man die äußerste Ecke erreicht. Hier gibts nur eine.
11.07.2012, 20:07	hawe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab den Eindruck hier läuft eine Menge falsch angefangen hier: http://www.onlinemathe.de/forum/Lineare-...ion-Restriktion und bei der Lösungsfindung. Wenn das weniger gewinnbringende Produkt auch noch längere Maschinenlaufzeiten benötigt käme ich nie und nimmer auch die Idee das überhaupt zu produzieren?
11.07.2012, 20:35	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
@hawe, du has Rrecht. Danke für den Hinweis. Hallo DonHup, Die optimale Lösung ist (0/1800). Das siehst du auch, wenn du die Zielfunktion einzeichnest. Die verschiebst du so lange, bis sie eine der Ecken berührt. Habe aus Versehen die anderen beiden Ecken vernachlässigt. Ich habe es schon mal eingezeichnet (schwarze Linie). Sonst bleibt Alles beim Alten.
12.07.2012, 13:25	DonHup46	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Hilfe, Prüfung war ganz gut !!! Diese Aufgabe kam in der Klausur dran und man konnte zwischen dieser und einer anderen wählen. Ich habe mich gegen diese Aufgabe entschieden, obwohl ich sie seit gestern Abend beherrsche. Ich habe sie 3mal gemacht (Prüfungen älterer Semester, von denen ich nur die Lösungen hatte) und habe jedesmal das richtige ERgebnis rausbekommen Mir war nur das Rechnen lieber als das Zeichnen !! Danke für deine Tipps, sie haben mich echt weitergebracht !!! Grüße Dominik

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