Auf der Suche nach einem nicht reinen Tensor

10.07.2012, 18:40

Kiwiatmb

Auf der Suche nach einem nicht reinen Tensor

Hallo

Ich suche gerade einen nicht reinen Tensor und möchte mir klar machen, dass er nicht rein ist.

Mein Kandidat ist $\begin{eqnarray*} e_1\otimes e_2 + e_2 \otimes e_1=:t \end{eqnarray*}$ .

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} t \in K²\otimes K² \end{eqnarray*}$ , da die beiden Summanden jeweils Teil der Standardbasis von $\begin{eqnarray*} K²\otimes K² \end{eqnarray*}$ sein müssten. Von daher müsste das zumindest mal ein Tensor sein.

Und da ich quasi nur die beiden Basiselemente addiere kann ich mir nicht vorstellen, dass sich das als $\begin{eqnarray*} v\otimes w, v \in K², w \in K² \end{eqnarray*}$ darstellen lässt (denn so ist ja ein reiner/unreiner Tensor definiert).

Die Lösung für den Beweis scheint folgendermaßen auszusehen:

$\begin{eqnarray*} \text{Angenommen, t wäre ein reiner Tensor. Dann gibt es } v=\lambda _1 e_1+\lambda _2 e_2 \text{ und } w=\tilde{\lambda _1} e_1 + \tilde{\lambda _2} e_2 \text{ mit } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t = e_1\otimes e_2 + e_2 \otimes e_1 = \lambda _1 \tilde{\lambda _1} e_1\otimes e_1 + \lambda _1 \tilde{\lambda _2} e_1\otimes e_2 + \tilde{\lambda _1} \lambda _2 e_2 \otimes e_1 + \lambda _2 \tilde{\lambda _2} e_2\otimes e_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{Da } (e_1\otimes e_1, e_1\otimes e_2, e_2\otimes e_1, e_2\otimes e_1) \text{ Basis von } K² \otimes K² \text{ , erhält man dann einen Widerspruch. Also ist t kein reiner Tensor.} \end{eqnarray*}$

Den Widerspruch seh' ich auch (wenn man die Koeffizienten vergleicht ergeben sich für die Lambdas widersprüchliche Bedingungen). Aber ich verstehe die erste und zweite Zeile irgendwie nicht bzw. wie man darauf kommt.

(Außerdem wird in dieser Zeile anscheinend versucht, t als eine Art Linearkombination von Basisvektoren darzustellen. Das gelingt offensichtlich nicht. Für mich würde das heißen, dass t nicht im gewünschten Raum liegt und damit überhaupt kein Tensor ist, aber da verstehe ich wahrscheinlich was falsch.)

Mein Skript hält folgendes, vielleicht passendes bereit:
- Bei uns wurde das Tensorprodukt so eingeführt: $\begin{eqnarray*} V \otimes W = F/E \end{eqnarray*}$ , wobei F eine direkte Summe ist und E ein etwas seltsam erzeugter Unterraum.
- Jedes Element in F lässt sich schreiben als endliche Summe $\begin{eqnarray*} \sum _i \lambda _i e_{(v_i, w_i)} \end{eqnarray*}$ .
- Jedes Element in F/E = V tensoriert W lässt sich schreiben als endliche Summe $\begin{eqnarray*} \sum _i \lambda _i v_i \otimes w_i \text{ bzw. wegen einer vorangegangenen Erkenntnis auch gleich als } \sum _i v_i ' \otimes w_i \end{eqnarray*}$

Hoffe, ihr könnt mir hier ein wenig auf die Sprünge helfen.

Vielen Dank schon einmal !

Grüße,
~

12.07.2012, 15:05

Kiwiatmb

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Es würde mir übrigens auch schon sehr helfen, wenn jemand einen (wegen mir anderen) nicht reinen Tensor zeigt und erklärt, wieso es denn nun keiner ist. smile

Dann kann ich gucken, ob ich das evtl. auf obigen Beweis übertragen kann...
Vielleicht ist das einfacher für euch?

12.07.2012, 18:34

DP1996

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Zu dem Beweis: Zuerst schreibst du für t einfach die Definition von t. Dann nimmst du die Annahme hinzu, sagst also, t ist reiner Tensor, dann haben aber die einzelnen "Faktoren" dieses Tensors eine Linearkombination zur Standardbasis, die setzt du ein und formst das um.

Das funktioniert allgemeiner auch für alle anderen Basen.

Bei endlichen Körpern K kann man sich das auch so gut merken: Seien $\begin{eqnarray*} \left\{v_i | i\in I\right\}, \left\{w_j | j\in J \right\} \end{eqnarray*}$ Basen von V bzw. W (die ihrerseits zwei K-Vektorräume darstellen). Dann ist $\begin{eqnarray*} \left\{ v_i \otimes w_j | i\in I, j \in J \right\} \end{eqnarray*}$ Basis des Tensorproduktes, d.h. $\begin{eqnarray*} \dim V\otimes W = \dim V \cdot \dim W \end{eqnarray*}$
Auf der anderen Seite ist aber $\begin{eqnarray*} \left| \left\{ v\otimes w | v\in V, w\in W \right\} \right|=|K^{\dim V}|\cdot |K^{\dim W}| \end{eqnarray*}$ Dies entspräche lediglich der Summe der einzelnen Dimensionen (ganz davon abgesehen ist aber diese Menge kein Vektorraum).

12.07.2012, 19:29

Kiwiatmb

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Puh, eine Antwort ! Wink

Vielen Dank. Hatte etwas Scheu davor, mit dem Tensorprodukt "richtig" zu rechnen, da es ja im eigentlichen Sinne kein Produkt ist. Aber jetzt verstehe ich, warum es den Namen "Produkt" dennoch zu Recht trägt. Augenzwinkern

Soweit ist jetzt zu dem Beweis alles klar denke ich.

Deine Bemerkung klingt ziemlich nützlich und das Prinzip habe ich wohl auch verstanden. Aber woher weißt du $\begin{eqnarray*} \left| \left\{ v\otimes w | v\in V, w\in W \right\} \right|=K^{\dim V}\cdot K^{\dim W} \end{eqnarray*}$ ? Und wie kannst du die beiden Körper miteinander multiplizieren? Meinst du hier vielleicht das Kreuzprodukt ?
Könntest du deine Bemerkung vielleicht noch mit einem "Also..."-Satz vervollständigen? Denn ich sehe, dass die Dimensionen unterschiedlich sind, aber was sagt mir das genau?

12.07.2012, 19:33

DP1996

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Also ( ^^ ), wie ich darauf komme ist im Grunde genommen Kombinatorik: ich habe $\begin{eqnarray*} K^{\dim V} \end{eqnarray*}$ viele Möglichkeiten, mir das v auszuwählen, und eben $\begin{eqnarray*} K^{\dim W} \end{eqnarray*}$ viele Möglichkeiten, ein w auszuwählen.

ah, moment, ich seh das Problem, ich hab die Betragsstriche um das K rum vergessen. Wird sofort editiert. Es werden also nicht die Körper multipliziert, sondern die Anzahl der Möglichkeiten.

16.07.2012, 22:40

Kiwiatmb

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Entschuldigung, ich war am Wochenende nicht da. Wink

Müssten die Betragsstriche nicht direkt um die K liegen?

Und mit dem "Also"-Satz meinte ich eher die Aussage, die Folgerung aus deinen Ausführungen.
Denn dass $\begin{eqnarray*} \dim V\otimes W \neq \left| \{v\otimes w~|~v\in V, w \in W\} \right| \end{eqnarray*}$ seh ich ein und auch $\begin{eqnarray*} \Rightarrow V\otimes W \neq \{ v\otimes w~|~v\in V, w \in W\} \end{eqnarray*}$ ist dann klar. Aber was sagt mir das ? Dass es bei endlichen Körpern K als Vektorräume im Tensorprodukt immer nicht reine Tensoren gibt?

17.07.2012, 13:44

DP1996

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Zitat:

Müssten die Betragsstriche nicht direkt um die K liegen?

Kommt auf's gleiche raus.

Zitat:

Aber was sagt mir das ? Dass es bei endlichen Körpern K als Vektorräume im Tensorprodukt immer nicht reine Tensoren gibt?

Zumindest, dass es von beiden nicht gleich viele geben kann, denn im allgemeinen ist ja $\begin{eqnarray*} \dim V + \dim W \neq \dim V \cdot \dim W \end{eqnarray*}$ . Da aber jeder reine Tensor sowieso ein Element von $\begin{eqnarray*} V\otimes W \end{eqnarray*}$ ist, müssen also nicht reine Tensoren existieren.

17.07.2012, 13:56

Kiwiatmb

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Zitat:

Kommt auf's gleiche raus.

Stimmt. Da ist was dran.

Vielen Dank auch für diese Zusatzinfos ! Hast mir insgesamt sehr geholfen ! Freude

17.07.2012, 14:01

DP1996

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Gern geschehen! smile

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