Problem mit Integralrechnung

10.07.2012, 20:42

Mads85

Problem mit Integralrechnung

Hallo, ich habe folgendes Problem gegeben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdr<br /> \end{eqnarray*}$

wobei r und x geometrisch in die gleiche Richtung gehen soll und nur das innere Integral ausgeführt werden soll.

Zuerst einmal würde ich das ganze umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dxdr \end{eqnarray*}$

Anschließend:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})}\int_0^x\! 1 \, dxdr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} x dr \end{eqnarray*}$

Da in der Lösung folgendes steht:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{x^{2}}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$
...ist nun meine Frage ob die Multiplikation so ausgeführt werden darf, da r und x in die gleiche Richtung gehen soll oder ob mir jemand erklären kann warum das hier so gemacht wird?

Vielen lieben Dank!

10.07.2012, 21:02

Math1986

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RE: Problem mit Integralrechnung

Zitat:

Original von Mads85
Hallo, ich habe folgendes Problem gegeben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdr<br /> \end{eqnarray*}$

wobei r und x geometrisch in die gleiche Richtung gehen soll und nur das innere Integral ausgeführt werden soll.

Gibt es irgendwelche Zusatzbedingungen an f ? Die Nullfunktion wäre schlecht irgendwie geschockt

Zitat:

Original von Mads85
Zuerst einmal würde ich das ganze umschreiben zu:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dxdr \end{eqnarray*}$

Du kannst doch nicht einfach so aus der Integrationsvariablen eine Konstalte machen. Das geht so nicht.

Wofür steht hier dein $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst hier nur wie folgt umformen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdr=\int_0^1 \! 1 dr\int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

11.07.2012, 00:42

Mads85

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Die genaue Angabe des Integrals auf dem Blatt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdx \end{eqnarray*}$

Also zunächst habe ich x durch $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ ersetzt. Hätte es auch t nennen können, damit man die obere Integrationsgrenze von der zu integrierenden Funktion unterscheiden kann, so wie Dustin es mir damals hier empfohlen hat:

Kniffliges Integral so richtig?

Aber ich habe gesehen, dass ich da noch was vergessen habe und etwas falsch war. Ich schreibs mal richtig um:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d\tilde{x} \end{eqnarray*}$

Mir ist klar würde das Integral beispielsweise so aussehen, wäre das die triviale Lösung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^x\! \tilde{x}\,d\tilde{x}=\frac{x^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Aber da hier die Grenze gleich der zu integrierenden Funktion ist, muss ich die Variable zu einer neuen Variable $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ umschreiben. f(x) ist eine Funktion die nicht analytisch integriert werden kann und auch nicht 0 werden kann. Sie hängt von einer anderen Funktion wie folgt ab: f(g(x)) und somit dachte ich dass wenn f(g(x)) natürlich auch f(x) abhängen muss. x ist eine Raumrichtung, die senkrecht nach oben geht. Über f(x) und g(x) ist nur bekannt, dass die nicht 0 werden und nicht analytisch integrierbar sein sollen. Und die Lösung ist angegeben:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{x^{2}}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

Keine weiteren Informationen verfügbar

11.07.2012, 09:30

Math1986

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Zitat:

Original von Mads85
Die genaue Angabe des Integrals auf dem Blatt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdx \end{eqnarray*}$

Ach, nun wird auf einmal zweimal nach x integriert? Oben hieß die zweite Integrationsvariable noch r böse

Richtig wäre dann die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d x \end{eqnarray*}$

Nun das innere Integral integrieren.

11.07.2012, 10:37

Mads85

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von Mads85
Die genaue Angabe des Integrals auf dem Blatt ist:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{x}{f(x)} \, dxdx \end{eqnarray*}$

Ach, nun wird auf einmal zweimal nach x integriert? Oben hieß die zweite Integrationsvariable noch r böse

Ja das war mein Fehler, sorry aber nun stimmt die Angabe.

Zitat:

Original von Math1986

Richtig wäre dann die Umformung:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d x \end{eqnarray*}$

Nun das innere Integral integrieren.

Ja und genau da liegt das Problem f(x) kann ja nicht analytisch integriert werden. x allein
wäre nicht das Problem (siehe oben). Aber dann wäre die Lösung falsch.
Theoretisch würde ich hier die Produktintegration anwenden?!?

11.07.2012, 22:40

Fexx

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Das kann man schon irgendwie ausrechnen, nur ich lande dann immer bei einer Integralgleichung die man dann lösen muss. Was ist denn als lösung gefordert?

LG Fexx

12.07.2012, 00:42

carm561

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Du kannst in $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d x \end{eqnarray*}$ die Integrationsreihenfolge vertauschen. Das liefert dann immerhin $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}(1-\tilde{x})}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x} \end{eqnarray*}$
Das ist nicht die angegebene Lösung, stimmt aber dafür im Fall f=1 Augenzwinkern

12.07.2012, 08:33

Mads85

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Zitat:

Original von Fexx
Das kann man schon irgendwie ausrechnen, nur ich lande dann immer bei einer Integralgleichung die man dann lösen muss. Was ist denn als lösung gefordert?

LG Fexx

Vielen Dank schonmal für die Hilfestellung!

Als Lösung gefordert ist nur das innere Integral zu berechnen, das über x bzw. so zu vereinfachen, dass:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})}\, d\tilde{x}dx=\int_0^1 \! \frac{x^{2}}{f(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

und das dann in Aufgabenteil 2 numerisch zu lösen, da f(x) ja nicht geschlossen integrierbar ist.
Die Numerische Integration des angegebenen Integrals aus der Lösung mittels summierter Simpsonregel war aber ne Kleinigkeit das hab ich schon fertig programmiert aber habe eben das Integral aus der Lösung verwendet, da ich bisher nicht weis wie ich dahin komme... dass folgender Ausdruck dasteht:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{x^{2}}{f(x)} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich auch ob da irgendeine physikalische Vereinfachung getroffen wird, weil rein durch logische Mathematik komme ich da nicht hin. f(x) ist eine Funktion die nur numerisch integriert werden kann und x ist eine geometrische Richtung die Funktion f(x) ändert sich in x-Richtung.
Mittels Produktintegration komme ich auch nicht weiter, da lande ich dann in einer Sackgasse...

12.07.2012, 11:16

Mads85

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Zitat:

Original von carm561
Du kannst in $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d x \end{eqnarray*}$ die Integrationsreihenfolge vertauschen. Das liefert dann immerhin $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}(1-\tilde{x})}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x} \end{eqnarray*}$
Das ist nicht die angegebene Lösung, stimmt aber dafür im Fall f=1 Augenzwinkern

Ich versuche das gerade mal nachzuvollziehen vielleicht kannst du mir dabei helfen? :

Also gegeben war:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})}\, d\tilde{x}dx \end{eqnarray*}$

daraus lässt sich folgern:

$\begin{eqnarray*} (1) 0<\tilde{x}<x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) 0<x<1 \end{eqnarray*}$

sortiert: $\begin{eqnarray*} 0<\tilde{x}<x<1 \end{eqnarray*}$

umsortieren:

$\begin{eqnarray*} \tilde{x}<x<1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<\tilde{x}<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_{\tilde{x}}^1 \! \frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dx \, d\tilde{x} \end{eqnarray*}$

ausgeführt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}x}{f(\tilde{x})} \, dx= \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}(1-\tilde{x})}{f(\tilde{x})} \, dx \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig? Warum stimmt die Funktion im Fall f=1? Das verstehe ich jetzt nicht so ganz.
Wie waren nochmal die Bedingungen dass ich die Grenzen vertauschen darf? Gibt es da einen guten Link evtl. finde es nicht im Bronstein. f(x) ist hier eine Funktion die die Dichte angibt und 0...1 ist eine normierte Höhenkoordinate in der sich eine Flüssigkeit befindet die Dichte f(g(x))ändert sich durch die Temperaturänderung g(x). D.h. Die Funktion f(x) muss von 0...1 gültig sein.

Aber erst in Aufgabe 2 darf ich eine Funktion für f(x) einsetzen (die nicht analytisch integrierbar ist) und das nummerisch lösen was ich ja schon gemacht habe.

12.07.2012, 19:18

carm561

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Sieht gut aus Freude

Für $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^x\!\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x}d x = \int_0^1 \! \frac{\tilde{x}(1-\tilde{x})}{f(\tilde{x})} \, d\tilde{x} = 1/6 \end{eqnarray*}$ . In dem Sinne stimmt es für $\begin{eqnarray*} f=1 \end{eqnarray*}$
Vertauschung der Integrationsreihenfolge wird durch den Satz von Fubini geregelt.
Gibt's schon Erkenntnisse über die angegebene Musterlösung? verwirrt

12.07.2012, 20:06

Mads85

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Naja die "Musterlösung" liefert nach der numerischen Integration physikalisch korrekte Werte d.h. das Integral des Ortes(x) und der normierten Dichte an diesem Ort ist genauso wie man sie erwarten würde und bei konstanter Dichte (f=konst) muss das Integral immer 1/3 ergeben ansonsten ist die Lösung auch physikalisch falsch).
PS: Das mit dem 1/3 bei f=konst stand nicht in der Aufgabenstellung das habe ich selbst ermittelt aber es stimmt.

Unsere Mathematisch gesehen korrekte Lösung liefert bei Aufgabe 2 aber irgendwie nur unsinnige Zahlen. Über die Funktion f kann ich soviel sagen, dass es sich hierbei um eine normierte Dichte handelt also (aktuelle Dichte am Ort x)/(Referenzdichte(beiAusgangstemperatur))die sich in x-Richtung ändert. Somit ist f(x) einmal 1 und einmal kleiner als 1 und einmal größer als 1.

Ich glaube die Zusatzinformation muss man hier irgendwie berücksichtigen dass beide Integrale in genau die gleiche Richtung gehen, d.h. wir integrieren nicht eine Fläche sondern zweimal ein und dieselbe Höhenlinie(es ist kein Flächenintegral). Die Frage ist ob dann dieselben Regeln gelten beim vertauschen der Integrationsgrenzen bzw. ob es nicht irgendeine andere Vereinfachung gibt.

Der Witz ist irgendwie dass das Ausgangsintegral 1/6 liefert und nach der Vereinfachung muss sich aber bei f=konst immer nach der Integration 1/3 ergeben (das stand nicht in der Aufgabenstellung das habe ich selbst ermittelt).

Wenn man von der Musterlösung rückwärts rechnet müssten wir ja irgendwas in der Form hier haben, dass man dahinkommt:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_0^{\tilde{x}} \!\,\frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dx d\tilde{x} \end{eqnarray*}$

13.07.2012, 00:56

Mads85

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Darf man folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \! \int_1^{\tilde{x}} \! \frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dx \, d\tilde{x}=-\int_0^1 \! \int_{\tilde{x}}^1 \! \frac{\tilde{x}}{f(\tilde{x})} \, dx \, d\tilde{x} \end{eqnarray*}$

Wenn ja, kann ich die Grenze $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ bis 1 so verändern dass sie von $\begin{eqnarray*} \tilde{x} \end{eqnarray*}$ bis 0 geht?

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