Implizite Funktion (Ableitung und Tangente)

10.07.2012, 20:48

Matheversteher

Implizite Funktion (Ableitung und Tangente)

hallo

ich sitze an folgender fumktion:

$\begin{eqnarray*} A:={(x,y)\in \mathbb R^2| \sqrt[3]x^2+ \sqrt[3]y^2=1} \end{eqnarray*}$

a.) Berechnen Sie für jedes $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \in A \end{eqnarray*}$ die Tangente an A, soweit diese definiert ist.

b.) Bestimmen sie alle Punkte auf A, in denen die Tangente parallel zum Vektor (-1,10) verläuft.

ich fange ersteinmal mit a.) an bevor ich zu b.) übergehe.
ich möchte die implizite Fumktion ableiten, doch hier komme ich nicht wirklich weiter.
denn wenn ich nach x differenzieren möchte, dann habe ich folgendes mit $\begin{eqnarray*} y = g(x) \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} g(x)= (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x) \rightarrow \frac{2}{3\sqrt[3]x} + \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt[3]{g(x)}} \cdot g'(x) = 0 \end{eqnarray*}$

wenn ich nun g(x) einsetze folgt:

$\begin{eqnarray*} g'(x) =-\frac{2}{3\sqrt[3]x} \cdot \frac{3\cdot (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{ (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x} }= - \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]y = (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ müsste die letzte umformung doch gelten oder?

ist das richtig und ich meine verstehe ich das jetzt richtig? ist das die tangente an meiner funktion?

ich wäre euch dankbar, wenn mir jemand bestätigen könnte ob das richtig ist oder wenn etwas falsch ist, warum ich es falsch gemacht habe smile

10.07.2012, 21:27

Matheversteher

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und was ich noch ergänzen sollte:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\frac{ (1-x^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}}{\sqrt[3]{x} }= - \frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

hierraus sollte doch auch hervorgehen, dass ich bei x= 0 die differenzierbarkeit nicht gegeben ist oder? wie ist es denn dann bei y=0? wenn ich jetzt zu beginn nach x aufgelöst hätte, dann hätte ich am ende $\begin{eqnarray*} ...= - \frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} \end{eqnarray*}$ gehabt. hier wäre dann für y= 0 die differenzierbarkeit nicht gegeben. heißt das dann, dass die differenzierbarkeit für x , y= 0 nicht gegeben ist oder nur wenn etnweder x=0 oder y=0 ist, je nachdem wie ich auflöse? verwirrt

12.07.2012, 13:22

Matheversteher

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keiner der mir sagen kann ob das bisher gerechnete richtig ist?

13.07.2012, 13:18

mYthos

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Dass du bis jetzt hier keine Antwort erhalten hast, liegt daran, dass du einen Monolog in einem 3-fach (!) Post hältst und in der Threadliste dein Thread daher mit bereits 2 Antworten aufscheint, die du dir selbst gegeben hast.

Du bist schon lange genug Mitglied bzw. kein Neuling hier, als dass dir dies geläufig sein könnte und du besser den EDIT-Button zum Aktualisieren deines Beitrages verwenden solltest.
________________________

Deine Rechnung stimmt so weit, nur hast du nicht wirklich implizit abeleitet. Es ist auch nicht ersichtlich, welches eigentlich deine Funktion f(x) nun ist.
Schreibe doch die Gleichung in Exponentialschreibweise und leite dann direkt nach x ab, bei den y wird einfach mit der inneren Ableitung y' multipliziert (Kettenregel):

$\begin{eqnarray*} x^{\frac 2 3} + y^{\frac 2 3} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 2 3 (x^{-\frac 1 3} + y^{-\frac 1 3} \cdot y') = 0 \end{eqnarray*}$

Daraus berechne nun y', das Resultat ist mit deinem ident, nur leichter zu erreichen.

Es ist auch richtig, dass die Ableitung bei x = 0 nicht existiert, das zeigt auch der Graph. Die Tangent dort hat die Gleichung x = 0 (die Steigung ist unendlich).

In allen anderen Punkten des Definitionsbereiches [0; 1] existiert jedoch die Ableitung und daher sind auch die Tangenten bestimmt.

Hinweis: Der Richtungsvektor einer Geraden mit der Steigung m lautet (1; m)

Kannst du nun die Aufgabenteile a) und b) zu Ende betechnen?

mY+

13.07.2012, 15:40

Mystic

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RE: Implizite Funktion (Ableitung und Tangente)
Ich vermute mal, dass die Formel der Kurve (=Asteroide) eigentlich so aussehen sollte

$\begin{eqnarray*} A:=\{(x,y)\in \mathbb R^2| \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}=1\} \end{eqnarray*}$

Wahrscheinlich hat Matheversteher das falsch abgeschrieben, oder vielleicht hat er auch nur nicht verstanden (sorry for the pun! Augenzwinkern

), dass da ein mathematischer Unterschied ist... Dies würde dann bedeuten, dass der Definitionsbereich das Intervall [-1,1] ist und die Kurve eigentlich aus 4 Teilen besteht, welche alle durch Spiegelung der Kurve im 1.Quadranten an den Achsen bzw. dem Ursprung entstehen...

13.07.2012, 19:28

Matheversteher

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a.) Tut mir leid myThos, so wirklich weiß ich nicht was ich hier nun tun soll.

Ich hätte nun meine zwei Tangentensteigungen mit
$\begin{eqnarray*} f'(y) = \sqrt[3]{\frac{x}{y}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (^*) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(x) = \sqrt[3]{\frac{y}{x}} \end{eqnarray*}$ aber wie gesagt, wie es weiter gehen soll, absolut null Ahnung.

b.)
$\begin{eqnarray*} v = \begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Somit folgt für eine Gerade, mit dem Vektor die Steigung m= -10 , wegen $\begin{eqnarray*} 0 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\to \frac{10-0}{-1-0} \end{eqnarray*}$

Somit werden nun alle Punkte auf A gesucht, die eine Steigung von m= -10 haben.
$\begin{eqnarray*} m = \sqrt[3]{\frac{y}{x}} \end{eqnarray*}$ gibt unsere Steigung der Punkte auf dem Asteroid an. Somit folgt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = -10 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \to y= -1000x \end{eqnarray*}$

in A:
$\begin{eqnarray*} \to x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{101} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow {\frac{1}{\sqrt {101}}}^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= -1000\cdot {\frac{1}{\sqrt {101}}}^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to P ({\frac{1}{\sqrt {101}}}^3, -1000\cdot {\frac{1}{\sqrt {101}}}^3 \end{eqnarray*}$
Und Aufgabe b wäre damit abgeschlossen.

Zitat:

Original von Mystic
Ich vermute mal, dass die Formel der Kurve (=Asteroide) eigentlich so aussehen sollte $\begin{eqnarray*} A:=\{(x,y)\in \mathbb R^2| \sqrt[3]{x^2}+ \sqrt[3]{y^2}=1\} \end{eqnarray*}$ Wahrscheinlich hat Matheversteher das falsch abgeschrieben, oder vielleicht hat er auch nur nicht verstanden (sorry for the pun! ), dass da ein mathematischer Unterschied ist... Dies würde dann bedeuten, dass der Definitionsbereich das Intervall [-1,1] ist und die Kurve eigentlich aus 4 Teilen besteht, welche alle durch Spiegelung der Kurve im 1.Quadranten an den Achsen bzw. dem Ursprung entstehen...

Ja du hast recht so steht die Aufgabe in der Tat da (tut mir leid). Du hast es richtig erkannt, denn dann habe ich es nicht verstanden unglücklich

. Aber, kann ich dann nicht über das Argument der Spiegelung $\begin{eqnarray*} (^*)) \end{eqnarray*}$ weitere Lösungen erhalten?

zu a.) So wäre also die 2. Ableitung (oben bei a.) mit $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ markiert) möglich. Außerdem wären dann die Tangenten $\begin{eqnarray*} (0,\mp 1) \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} (\mp 1, 0) \end{eqnarray*}$ , nich definiert.

zu b.) Außerdem hätte ich dann drei weitere Punkte P in dem eine parellele Tangente zum VEktor v liegen würde. Ich müsste dan auch hier wieder die Vorzeichen bzw. die x und y Koordinate tauschen aufgrund der Spiegelung.

Ist jetzt etwas viel auf einmal aber ich hoffe das ist ok so smile

Offen bleibt dann nur noch Aufgabe a, bei der ich nicht weiß, wie ich die Tangenten aufstelle. verwirrt

Ich hoffe ihr bringt die Geduld auf mir das noch zu erklären.

14.07.2012, 11:28

mYthos

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Da der Graph achsen- bzw. punktsymmetrisch zum Ursprung ist, genügt es vollkommen, die ganze Sache im 1. Quadranten abzuhandeln und die restlichen Lösungen in die entsprechenden anderen Quadranten überzuleiten.

Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung m lautet einfach

$\begin{eqnarray*} y = mx + b \end{eqnarray*}$

b kannst du berechnen, indem du die Koordinaten des Punktes einsetzst, durch den die Gerade gehen soll.

mY+

14.07.2012, 12:16

Matheversteher

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Mhhh das heißt also, betrachte ich die Tangente im Punkt $\begin{eqnarray*} P (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ dann folgt:
$\begin{eqnarray*} y_0= \sqrt[3]{\frac{y}{x}} x_0 + b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow b = y_0 - \sqrt[3]{\frac{y}{x}} x_0 \end{eqnarray*}$

also habe ich für die Tangenten an die differenzierbaren Punkte:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt[3]{\frac{y}{x}} x +(y_0 -\sqrt[3]{\frac{y}{x}} x_0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y= \sqrt[3]{\frac{y}{x}} (x-x_0) +y_0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so? verwirrt

14.07.2012, 12:31

mYthos

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Nein.

Zitat:

Original von Matheversteher
...
$\begin{eqnarray*} y_0= \sqrt[3]{\frac{y}{x}} x_0 + b \end{eqnarray*}$
....

Richtig ist die allgemeine Tangentengleichung

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}}x + b \end{eqnarray*}$

Denn du hast in die Steigung die Koordinaten des Berührungspunktes T(x0; y0) einzusetzen. Danach wird nach Berechnung von b* die Tangentengleichung

(*)[ $\begin{eqnarray*} y_0= \sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}}x_0+b \end{eqnarray*}$ ]

$\begin{eqnarray*} y= \sqrt[3]{\frac{y_0}{x_0}} (x-x_0)+y_0 \end{eqnarray*}$

mY+

14.07.2012, 14:04

Matheversteher

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Stimmt du hast recht, habe ich übersehen Hammer

Ich danke dir mYthos für deine Geduld, die du hattest smile

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