Zahlentheorie - Borevich und Shafarevich

10.07.2012, 21:18	jennybl	Auf diesen Beitrag antworten »
Zahlentheorie - Borevich und Shafarevich Meine Frage: Hallo, in diesem Semester habe ich das Seminar aus Algebra besucht und ein Kapitel aus dem Buch von Borevich und Shafarevich "Zahlentheorie" behandelt (Kapitel 1, Abschnitt 4.1). Nun würde ich mich gerne den Aufgaben im Anhang an diesen Abschnitt widmen. Stoße jedoch schon bereits ganz am Anfang auf einige Verständnisprobleme und hoffe, dass mir jemand helfen kann. Die Aufgaben sind wie folgt formuliert: 1.) Man zeige, dass ein endlicher Körper nur die triviale Bewertung gestattet. 2.) Zwei Bewertungen phi und psi eines Körpers k heißen äquivalent, wenn sie in k den gleichen Konvergenzbegriff definieren, d.h. wenn die Bedingungen phi(xn ?x) --> 0 und psi(xn ?x) --> 0 gleichbedeutend sind. Man zeige, dass ? und ? dann und nur dann äquivalent sind, wenn die Bedingungen phi(x) < 1 und psi(x) < 1 (x aus k) gleichbedeutend sind. 3.) phi und psi seien äquivalente Bewertungen des Körpers k. Man zeige, dass eine reelle Zahl delta mit phi(x) = (psi(x))^delta für alle x aus k existiert. Würde mich sehr über einige Lösungsansätze oder hilfreiche Tipps freuen. glg Meine Ideen: Grundsätzlich habe ich in meinem Kapitel die Bedingungen behandelt, denen eine Bewertung genügt (ähnlich definiert wie der Absolutbetrag). Außerdem habe ich auch noch einige Bewertungen kennengelernt: - Absolutbetrag im Körper der rationalen Zahlen - Absolutbetrag im Körper der komplexen Zahlen - Absolutbetrag im Körper der reellen Zahlen - P-adische Bewertung des Körpers Rp er p-adischen Zahlen - und eben auch die triviale Bewertung, das heißt: phi(0) = 0 und phi(a) = 1 für a ungleich 0. Den Abschluss des Abschnittes bildete dann der Beweis des Satzes: Für den bewerteten Körper k existiert ein vollständiger bewerteter Körper k´, der k als überall dichten Teilkörper enthält. (Wobei die Begriffe, dicht und vollständig vorher definiert wurden und falls es benötigt wird, kann ich diese Begriffe auch erklären.) Wie gesagt würde mich über jede Hilfe freuen.
10.07.2012, 23:13	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, 1. Zeige das ein Erzeuger von $\begin{eqnarray} \mathbb F ^ \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \mathbb F \end{eqnarray}$ sei der endliche Körper) mit 1 bewertet wird. 2. Bei der 2. kann ich nicht entziffern was du geschrieben hast (bitte Vorschau Button benutzen vor dem Erstellen des Posts). Beachte, dass aus $\begin{eqnarray} \psi(x)<1 \end{eqnarray}$ folgt, dass $\begin{eqnarray} (x^n) \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. 3. Wähle ein y mit $\begin{eqnarray} \psi (y)>1 \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} \psi(x)=\psi(y)^\alpha \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ (abhängig von x). Eine Folge $\begin{eqnarray} \frac{m_i}{n_i} \end{eqnarray}$ von rationalen Zahlen laufe von oben gegen alpha. Dann ist $\begin{eqnarray} \phi(x^{n_i}y^{-m_i}) <1 \end{eqnarray}$ . Verwende 2. Dasselbe für eine von unten konvergierende Folge. $\begin{eqnarray} \frac{\log \phi(x)}{\log \psi (x)} \end{eqnarray*}$ ist das gesuchte s. P.S. Ich garantiere nicht für die korrekte Unterscheidung von psi und phi in diesem Post.
11.07.2012, 08:00	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelpost auf onlinemathe . Dort sieht der Text auch leserlicher aus.

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