Pullback einer Differentialform berechnen

11.07.2012, 17:33	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Pullback einer Differentialform berechnen Hallo, Ich befinde mich gerade in der kritischen Phase der Klausurvorbereitung Geo/Topo (Klausur ist morgen ) und habe spontan festgestellt, dass ich zwar anscheinend eine ungefähre Vorstellung davon habe, was ein Pullback/das Zurückziehen/der Rücktransport einer k-Form ist, aber so etwas noch nie gerechnet habe - was jetzt für eine Klausur eher nicht so optimal ist. Deswegen einfach mal eine Übungsaufgabe gerechnet, bzw. das versucht, und mich würde jetzt interessieren, ob mein Vorgehen an sich so vertretbar ist, oder ich totalen Humbug gebaut habe (was gut möglich ist, weil ich sowas wie gesagt in der Praxis noch nie gemacht habe): Sei $\begin{eqnarray} f(x,y,z) = (z- \cos y, e^y - z, 2x^2) \end{eqnarray}$ , f Abbildung von R³ nach R³. Zu berechnen sei das Pullback $\begin{eqnarray} f^{\ast} (z^2 \d x \wedge \d y) \end{eqnarray}$ Naja, dann habe ich mal angefangen: $\begin{eqnarray} f^{\ast} (z^2 d x \wedge d y) = 4 x^4 d f^{\ast} x \wedge d f^{\ast} y =<br /> = 4x^4 (sin y dy + dz) \wedge (e^y dy - dz) =<br /> = (e^y + 4x^4 siny) dz \wedge dy \end{eqnarray}$ Geht das so alles in Ordnung? Ich gehe davon aus, dass wenn etwas falsch sein sollte, ein kapitaler Fehler und kein Rechenfehler vorliegt... was natürlich bitter wäre. Also bitte: weißt mich darauf hin, sollte ich irgendetwas falsch verstanden haben. :/ lg E: Aus irgendeinem Grund scheint der Formelmodus nicht zu funktionieren. Das tut mir leid.
21.05.2022, 06:46	sonny1001	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast richtig. 4x^4 gehört allerdings vor die Klammer. sonny
21.05.2022, 14:32	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
In Introduction to Smooth Manifolds von Lee sind auf S. 361 die folgenden Rechenregeln aufgeführt: Sei $\begin{eqnarray} f\colon M\to N \end{eqnarray}$ eine glatte Abbildung. (1) $\begin{eqnarray} f^\colon\Omega^k(N)\to\Omega^k(M) \end{eqnarray}$ ist linear über $\begin{eqnarray} \mathbb R. \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} f^(\omega\wedge\eta) = (f^\omega)\wedge(f^\eta). \end{eqnarray}$ (3) Bezüglich jeder glatten Karte gilt $\begin{eqnarray} f^(\sum_{I:i_1<\ldots<i_k}\omega_I\mathrm dy^{i_1}\wedge\ldots\wedge\mathrm dy^{i_k}) = \sum_{I:i_1<\ldots<i_k}(\omega_I\circ f)\mathrm d(y^{i_1}\circ f)\wedge\ldots\wedge\mathrm d(y^{i_k}\circ f). \end{eqnarray}$ Umständlich geschrieben gilt bei deiner Aufgabe: $\begin{eqnarray} (((x,y,z)\mapsto z^2)\circ f)(x,y,z) = ((2x)^2)^2 = 4x^4, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (((x,y,z)\mapsto x)\circ f)(x,y,z) = z-\cos y, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (((x,y,z)\mapsto y)\circ f)(x,y,z) = e^y-z. \end{eqnarray}$ Es ergibt sich $\begin{eqnarray} f^(z^2\mathrm dx\wedge\mathrm dy) = 4x^4\mathrm d(z-\cos y)\wedge\mathrm d(e^y-z) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 4x^4(\mathrm dz-\mathrm d\cos y)\wedge \mathrm (\mathrm de^y-\mathrm dz) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 4x^4(\mathrm dz + \sin y\,\mathrm dy)\wedge (e^y\mathrm dy-\mathrm dz) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 4x^4(-e^y\mathrm dy\wedge \mathrm dz - \sin y\,\mathrm dy\wedge\mathrm dz) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -4x^4(e^y+\sin y)\mathrm dy\wedge\mathrm dz. \end{eqnarray}$

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