Grenzwert zeigen

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Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert zeigen
Hallo,

ich möchte zeigen das folgender Grenzwert existiert.



Beweis:

Zu jedem existiert ein , so dass gilt.

Nun habe ich das Pferd von hinten gesattelt. Big Laugh



Jetzt habe ich einfach gesetzt und weiter gerechnet, also:







Also daraus folgt,

Nun zurück zu meiner Umformung,



Also kann ich nun sagen,





Also muss gewählt werden wobei kleiner gleich sein muss?

Wäre schön wenn mal jemand drüber schauen könnte ob man den Beweis so führen kann und auch darf.

Viele Grüße, hangman Wink
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert zeigen
Hallo,

ich hoffe du weißt, dass es damit viel einfacher gehen würde.
Da du dich bei deinem Beweis auf eingeschränkt hast, musst du am Ende auch wählen.

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert zeigen
Hi shipwater,

schonmal Danke für deine Antwort. Das ist ja schonmal gut, dass ich den Beweis korrekt geführt habe.
Die Definition über die Folgen habe ich schonmal gelesen allerdings nicht verstanden... unglücklich

Könntest du mir mal zeigen wie das bei der Aufgabe funktioniert? (Und bitte mit Erklärung) Big Laugh


Viele Grüße, hangman
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehe jetzt aus von

Nun gilt für jede Folge in mit dass (siehe Grenzwertsätze für Folgen)

Damit gilt also

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, was man dort nun eigentlich macht habe ich immer noch nicht verstanden.
Trotzdem Danke für deine Mühe.


Viele Grüße, hangman Wink
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Egal welche gegen konvergierende Folge (die 2 nicht selbst annimmt, aber das ist in diesem Beispiel nicht wichtig) du in einsetzt, die dadurch entstehende Funktionenfolge wird immer gegen konvergieren. Laut der Grenzwert-Definition über Folgen gilt damit schon
Nimm doch als Beispiel mal dann folgt
Du kannst das auch mit weiteren gegen 2 konvergierenden Folgen probieren, du wirst sehen, dass die Funktionenfolge immer gegen 29 konvergieren wird. Das ergibt sich nämlich automatisch aus den Grenzwertsätzen für Folgen. Wenn dann und schließlich

Vielleicht wird dir das ganze aber auch klarer, wenn du mal ein nicht stetiges Beispiel untersuchst. Sei dafür und wir wollen schauen ob der Grenzwert für existiert (es ist ja anschaulich klar, dass er es nicht tut). Für die Folge mit gilt nun aber für die Folge mit gilt dagegen . Hier konvergiert die Funktionenfolge also nicht für alle gegen 0 konvergierenden Folgen gegen die selbe Zahl, also existiert der Grenzwert bei nicht.
Du kannst ja auch mal versuchen mit dieser Definition zu zeigen, dass nicht existiert. Augenzwinkern

Gruß Shipwater
 
 
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, langsam macht es klick! Idee!

D.h. ich suche mir immer eine Folge die gegen konvergiert und wenn die Folge gegen konvergiert, dann konvergiert gegen

Geile Sache, das ist ja total simpel! Tanzen

D.h. in dem Beispiel von dir,

für

Wenn ich nun die Konvergenz zeigen will, müsste ich eine Folge finden die divergiert, da sie aber divergiert, divergiert auch
und demnach ist nicht konvergent.

Ist das korrekt? smile
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Achtung: Du musst zeigen, dass für jede Folge in mit gilt, dass . Erst dann ist
Es reicht also nicht das ganze nur für eine solche Folge zu zeigen. Um zu zeigen, dass der Grenzwert von für nicht existiert, musst du also nachweisen, dass nicht für jede Folge mit gilt, dass gegen die selbe Zahl konvergiert.

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Also würde dort ein Gegenbeispiel reichen?

Es gibt eine Folge

Dann folgt,

Meinst du das so? verwirrt
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest hier zwei Folgen mit finden, so dass und nicht gegen die selbe Zahl konvergieren.

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie check ich's nicht. verwirrt

Ist die Definition über das Epsilon-Delta Kriterium und über die Folgen jeweils nur die Definition des Grenzwertes oder hat das auch einen praktischen nutzen? Schließlich kann man doch Funktionen auch mit den Grenzwertsätzen untersuchen und weiß anschließend ob die Funktion konvergent oder divergent ist?
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Periodizität des Sinus ausnutzen. Die Wahl und bringt dich dann ans Ziel.
Zeige, dass dann und gegen unterschiedliche Zahlen konvergieren.
Und klar kannst du aus der Definition dann viele, schöne Sätze herleiten, die dir das Leben leichter machen. Das ist ja bei Folgen genau so, oder rechnest du jeden Grenzwert mit der aus?

Gruß Shipwater
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nicht. Augenzwinkern
Ich habe es nun soweit verstanden und danke dir vielmals.

Viele Grüße, hangman
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, ich hoffe du hast erkannt, dass durch die Wahl schließlich und folgt. smile

Gruß Shipwater
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von shipwater
Egal welche gegen konvergierende Folge (die 2 nicht selbst annimmt, aber das ist in diesem Beispiel nicht wichtig) du in einsetzt, die dadurch entstehende Funktionenfolge wird immer gegen konvergieren. Laut der Grenzwert-Definition über Folgen gilt damit schon


Man muss auch Folgen zulassen, die 2 annehmen. Ansonsten könnte man betrachten
betrachten.

Dann ex. nicht.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Man muss auch Folgen zulassen, die 2 annehmen. Ansonsten könnte man betrachten
betrachten.

Dann ex. nicht.

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht genau was du mir sagen willst. Bei dieser Funktion existiert doch und zwar gilt

Gruß Shipwater
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fände es eine seltsame Definition, wenn sein sollte. Jede Definition, die ich jemals von gesehen habe, lautet
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht verwechselst du das mit der Stetigkeit, da wird die besagte Stelle nämlich nicht ausgeschlossen.

Gruß Shipwater
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich, ich sehe bloss nicht welchen Nutzen es haben soll die Definition auf die Art einzuschränken, um beim Rechnen immer einen extra Fall zu haben.

Und wie gesagt habe ich die Einschränkungen bisher nirgendwo gesehen.
shipwater Auf diesen Beitrag antworten »

Die Einschränkung findest du zum Beispiel hier oder auch hier (das sollte erstmal genügen).
Du kannst dir auch mal im zweiten Link auf der Seite 2 das Beispiel 1 anschauen. Das ist so ähnlich wie dein Beispiel von eben. Demnach würde für deine Funktion tatsächlich gelten.
Aber vermutlich kennst du einfach eine andere Grenzwertdefinition als ich. In diesem Link wird zwischen "allgemeinem" und "traditionellem" Grenzwertbegriff unterschieden. Da liegt vermutlich der Knackpunkt.

Gruß Shipwater
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, tut mir leid mich eingemischt zu haben - wenn mans anders kennt, wirkt es etwas fremdlich Wink
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