Varianz gewichtete Summe

12.07.2012, 12:42

Gast11022013

Varianz gewichtete Summe

Meine Frage:
Es sei $\begin{eqnarray*} X=a_1X_1+\hdots a_nX_n \end{eqnarray*}$ .

Berechne $\begin{eqnarray*} Var(X) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Var(X)=E([X-E(X)]^2)=E\left(\left[\sum\limits_{i=1}^{n}a_iX_i-\sum\limits_{i=1}^{n}a_iE(X_i)\right]^2\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =E\left(\left[\sum\limits_{i=1}^{n}a_i(X_i-E(X_i))\right]^2\right) \end{eqnarray*}$

Hier finde ich in der Literatur nun, dass dies identisch ist mit:

$\begin{eqnarray*} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2(X_i-E(X_i))^2+\sum\limits_{i\neq j}a_ia_j(X_i-E(X_i))(X_j-E(X_j))\right) \end{eqnarray*}$

Leider sehe ich nicht, wieso!

Könnte mir das jemand erklären?

12.07.2012, 17:38

speedyschmidt

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Schreib die eine Summe mit i, die andere mit j. Vorne sind dann die Terme, wo i=j ist, hinten alle anderen smile

12.07.2012, 17:52

Gast11022013

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Zitat:

Original von speedyschmidt
Schreib die eine Summe mit i, die andere mit j.

Welche beiden Summen meinst Du?

Edit:

Ich habs schon. Big Laugh

Denken hilft!

Du meinst:

$\begin{eqnarray*} E\left[\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i(X_i-E(X_i)\right)\cdot \left(\sum\limits_{j=1}^{n}a_j(X_j-E(X_j)\right)\right] \end{eqnarray*}$

Wie peinlich, dass ich da nicht drauf gekommen bin.

Danke für den Hammer

- Effekt.

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