Vertauschung von Integral und Summe (messbarer Funktionen)

12.07.2012, 15:23

steviehawk

Vertauschung von Integral und Summe (messbarer Funktionen)

Meine Frage:
Hallo Leute, ich soll zeigen, dass folgendes gilt:

Es sei $\begin{eqnarray*} (X,M, \gamma) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum unf $\begin{eqnarray*} f_n : X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ messbar, $\begin{eqnarray*} f_n \geq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_X \! \sum\limits_{n=0}^\infty f_n \, d \gamma = \sum\limits_{n=0}^\infty \int_X \! \, f_n d \gamma \end{eqnarray*}$

also im Grunde, dass man Summe und Integral vertauschen darf!

Wir haben das mal bewiesen, für stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe (Summe).

Wo ist hier der Unterschied, denn stetigen Funktionen sind ja messbar!

Meine Ideen:
Danke für die Hilfe!

12.07.2012, 15:40

gonnabphd

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Hallo,

Zitat:

Original von steviehawk
Wir haben das mal bewiesen, für stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ bei gleichmäßiger Konvergenz der Reihe (Summe).

Wo ist hier der Unterschied, denn stetigen Funktionen sind ja messbar!

Der hauptsächliche Unterschied ist der, dass die Reihe nicht gleichmässig konvergieren muss, damit die Aussage für messbare Funktionen stimmt.

Tipp: Setze $\begin{eqnarray*} g_n := \sum_{k=0}^n f_k \end{eqnarray*}$ . Es ist dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \int_X f_k \, d\gamma = \int_X g_n \, d\gamma \end{eqnarray*}$

für alle n, sowie nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} g_1 \le g_2 \le g_3 \le \dots \end{eqnarray*}$ . Die Aussage ist nun, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \int_X f_k \, d\gamma = \int_X \left(\lim_{n\to\infty} g_n\right)\, d\gamma \end{eqnarray*}$

gelten soll. Welcher Satz fällt dir dazu ein (beachte speziell die Monotonie), welcher hier passen könnte?

Grüsse Wink

12.07.2012, 15:58

steviehawk

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Also eigentlich nur die üblichen Vertauschungsgesetze von Grenzwert und Integral.. ich weiß nicht, was mir die Monotonie genau sagen soll?

EDIT: Beppo - Levi???

12.07.2012, 20:53

gonnabphd

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Erstens: Ja zu deinem Edit. Zweitens: Beppo Levi war eine einzelne Person... Ist also der Satz von Beppo Levi und nicht Beppo-Levi.

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