Lineares Gleichungssystem lösen

30.01.2007, 21:02

Jürgen200

Lineares Gleichungssystem lösen

Hallöchen :-)

Ich wollte nachfragen, ob ich folgende Matrix richtig gelöst habe:

Es soll folgendes lineare Gleichungssystem gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mein Ergebniss wäre folgendes.

$\begin{eqnarray*} x_3 = t , x_2 = a , x_1 = 2a - 2t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a,t \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
stimmt das?

30.01.2007, 21:07

kiste

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Der Rang von der Matrix ist doch 2, da kannst du doch keine 2 Variablen erhalten(nach der Dimensionsformel).

Poste mal deine Rechenschritte.

Edit: Deutsche Grammatik...

30.01.2007, 21:16

Jürgen200

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ok, sie sind folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und nun dachte ich, da in der dritten Zeile ja sowas steht wie

$\begin{eqnarray*} 0*x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ , so müsste ich für $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ einen beliebigen wert wählen (ich wähte t)

und daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} 0*x_2 +t = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} 0*x_2 = -t \end{eqnarray*}$

ähm, ok, sieht glaube ich doch ein bisschen komisch aus....

wie müsste denn die Lösung des gleichungssystems lauten? kann $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ überhaupt einen wert annehmen?

30.01.2007, 21:20

kiste

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bereits die erste Umformung ist falsch, und das ist leider nicht die einzige falsche Umformung unglücklich

Wenn du eine Zeileaddition oder ähnliches machst musst du die komplette Zeile addieren.
Die Lösung darfst du hier erarbeiten, aber ich kann dir mal verraten das du einen Freiheitsgrad bekommen wirst, also eine Nullzeile.

Teile mal die erste bzw. letzte Zeile durch 3 bzw. 2 dann wirst du bereits etwas sehen

30.01.2007, 21:30

Jürgen200

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oh, mist. ok, ich habe es mal versuch, zu verbessern. Nu erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 3 & 0 & 12 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 3 & 0 & 12 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 6 & 6 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Puh, hoffentlich habe ich mich jetzt nicht nochmal verrechnet.
und wie du sagtest, ist hier eine Nullzeile. Und wie kann man jetzt sagen, was für einen Wert $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ hat? Ich glaube, den kann man nicht definieren, oder?

30.01.2007, 21:35

kiste

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Tut mir leid immer noch falsch.
Wie kannst du auf eine -4 in der untersten Zeile 2. Spalte kommen wenn du mit einer 0 addierst?

Addierst du eine Zahl aus einer Zeile zu einer Zahl aus einer anderen Zeile so müssen alle Zahlen der Zeile auf die andere Zeile addiert werden.
Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
addierst du die 1. zur 2. Zeile so kommt raus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 7 & 9 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also jetzt der erste Schritt bei deiner Matrix:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> (Teilen der ersten Zeile durch 3, Teilen der dritten Zeile durch 2

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & -4 & 4 \\ -1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

=> (Addition der ersten zur dritten)

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Edit: rechne vllt. nicht gleich alles sondern nur 1-2 Schritte sonst musst du immer wieder von vorne anfangen Augenzwinkern

30.01.2007, 21:40

Jürgen200

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Zitat:

Original von kiste

Wie kannst du auf eine -4 in der untersten Zeile 2. Spalte kommen wenn du mit einer 0 addierst?

die -4 bezieht sich doch auf die zweite matrix, oder? also auf:

Zitat:

Original von Jürgen200
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ 0 & -4 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und da hatte ich die zweite zeile zu der dritten addiert. das müsste doch gehen, oder?daher dann die -4.

30.01.2007, 21:42

Jürgen200

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aber was mache ich nun mit der nullzeile? wie kann da nun x_3 draus bestimmt werden?

30.01.2007, 21:52

kiste

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argh tut mir leid dein zweiter versuch war doch richtig Freude

Hab bloß eine andere Umformung benutzt die meiner Meinung nach schneller gewesen wäre.
x3 setzt du jetzt einer Variablen, z.b. x3 = t
Und dann rechnest du die restlichen aus

30.01.2007, 22:32

Jürgen200

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ok, danke

dann ist alles klar :-)

31.01.2007, 09:03

klarsoweit

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Ich weiß nicht, wer in der Mathematik den Umweg mit den Parametern eingeführt hat. Ich rechne diese Aufgabe so:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 12 \\ 2 & -4 & 4 \\ -2 & 0 & -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Zeile durch 3 dividieren, 2. Zeile und 3. Zeile jeweils durch 2 dividieren =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 1 & -2 & 2 \\ -1 & 0 & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren und 1. Zeile zu 3. Zeile addieren =>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2. Zeile durch -2 dividieren ==>

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit ist die Zeilenstufenform erreicht. Anzahl Spalten minus Anzahl Nicht-Nullzeilen = 1 = Dimension des Lösungsraums (Kerns). Ich bestimme eine Lösung, indem ich x_3 = 1 wähle, und erhalte daraus x_2 = -1 und x_1 = -4. Damit ist der Lösungsraum:

$\begin{eqnarray*} span<\begin{pmatrix} -4 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}> \end{eqnarray*}$

Im Ergebnis mag das gleiche rauskommen, aber ich denke, mein Weg ist kurz, knackig, effizient und klar. Augenzwinkern

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