Grenzwert bestimmen

13.07.2012, 16:04	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen Meine Frage: Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Grenzwerte bestimmen: a) $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \int_0^\infty \! \frac{nsin(\frac{x}{n}) }{x(1+x^2)} \, dx \end{eqnarray}$ b) kommt wenn ich a habe! Meine Ideen: Kann ich hier denn den Limes in das Integral ziehen und dann die Grenezfunktion ermitteln und dann "normal" integrieren? Danke für die Hilfe! Also ich habe jetzt bei der a) mal den Limes in das Integral gezogen und dann die Grenzfunktion betrachtet, da erhalte ich die Ableitung vom arctan(x) und dann kann ich das Integral wunderbar lösen und erhalte $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ passt das? Zur b) $\begin{eqnarray} \int_0^1 \! arctan(x^n) \, dx \end{eqnarray}$ so wenn ich mir hier mal die Grenzfunktion ansehen, dann sieht die nicht so schön aus zumindest nicht für negative x, denn da sprint sie immer zwischen positiv und negativ je nach n gerade oder ungerade. Da ich aber nachher eh nur von 0 bis 1 integriere reicht mir doch auch hierfür die Grenfunktion oder? Die ist ja 0 für $\begin{eqnarray} x \in [0,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x = 1 \end{eqnarray}$ . Also müsst das Integral ja auch null ergeben oder?
16.07.2012, 13:18	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Kennst du den Satz von Lebesgue über dominierte Konvergenz? Damit reicht es bei a) aus, zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} n\sin(\tfrac xn)\leq x \end{eqnarray}$ für (fast) alle n gilt. Das ist ja kein Problem. Bei b) ist das ganze durch $\begin{eqnarray} \tfrac\pi2 \end{eqnarray}$ beschränkt, also kannst du den Satz auch hier anwenden. Wie kommst du aber auf den Grenzwert 1 für x=1? mfg, Ché Netzer
18.07.2012, 14:34	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwert bestimmen Auf diesen Satz bin ich mittlerweile auch gestoßen und konnte auch beide Aufgaben damit lösen. Das muss natürlich auch Pi/2 und nicht 1 heißen bei der (b) da war ich wohl kurz unaufmerksam stevie

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