Basenwechsel nachvollziehen

13.07.2012, 19:33	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Basenwechsel nachvollziehen Meine Frage: Ich habe eine Lineare Abbildung g() vom R^3 ind den R^4 mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \|-> \begin{pmatrix} a_1 + 2a_2 \\ a_2 - a_3 \\ a_1 + a_2 \\ 2a_1 + 3a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die aufgabe lautet: a) bestimmen sie die Abbildungsmatrix A bezüglich der kanonischen Basen b) Es sei B' = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis des R^4 (obere Dreiecksmatrix). Bestimmen sie die Matrix, die im R^4 den Basiswechsel von der kanonischen Basis nach B' beschreibt. c) Es sei B = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine Basis des R^3 (untere Dreicksmatrix). Bestimmen sie die zu g gehörige Abbildungsmatrix Q bzgl. der Basen B' und B Meine Ideen: Ich weiß, wie man die Abbildungsmatrix berechnet (aufgabenteil a) man setzt einfach die kanonische Basis in g() ein und erhält so die Matrix: $\begin{eqnarray} g\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} ;g\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ;g\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ es folgt also: A = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber nun weiß ich nicht genau weiter... ich weiß ich muss irgendwie die Vektoren der Basis B' mit den Vektoren der Kanonischen Basis darstellen, aber ist das dann die Matrix, die den Basenwechsel von E4 nach B' beschreibt oder andersrum? das gleiche muss ich auch mit der Basis B (aus aufgabenteil c) machen oder? dann kann ich Q ausrechnen mit $\begin{eqnarray} Q = C^{E_{4} }_{B'}AD^{B}_{E_{3}} \end{eqnarray}$
14.07.2012, 01:11	ppaul	Auf diesen Beitrag antworten »
Überleg dir einfach wie du mit einer linearen Kombination dieser vier Vektoren die jeweiligen Vektoren der kanonischen Basis darstellen kannst. Dann erhälst du für jeden Vektor der kanonischen Basis die Koeffizienten der linearen Kombination und diese fügst du zu einer Spalte zusammen. Aus diesen Spalten ergibt sich dann deine Basiswechselmatrix. Wenn man die kanonische Basis in eine Matrix zusammenfasst erhält man ja die Einheitsmatrix. Demzufolge ergibt sich, dass die Basiswechselmatrix einfach die Inverse von B' ist. Das wäre eine alternative Herangehensweise.
14.07.2012, 16:03	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
also ist $\begin{eqnarray} C^{E_4}_{B'} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ weil ich ja z.b. die dritte Spalte von der kanonischen Basis darstellen lässt als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und das sind ja gerade der 2. und 3. Vektor der Basis und ergeben dann die dritte Spalte der Matrix... ist das so richtig? das heißt für die Matrix $\begin{eqnarray} D^{B}_{E_{3}} \end{eqnarray}$ müssste ich dasselbe machen, nur nicht die kanonische Basis darstellen, sondern die Basis B mit der Kanonischen Basis darstellen, sprich (erster Vektor der Basis B): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ also würde daraus doch aber für die erste Spalte (und analog für die zweite und dritte Spalte) der Matrix $\begin{eqnarray} D^{B}_{E_{3}} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ergeben?
14.07.2012, 17:06	voodoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh ok ich habs kapiert... das oben müsste richtig sein... dann muss ich nur die entsprechenden matrizen miteinander multiplizieren und dann passt das... alles klar...

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