Eulersche Gleichung; Charakteristik archimedischer Körper

13.07.2012, 23:53	dono258	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Gleichung; Charakteristik archimedischer Körper Hallo, ich stehe gerade vor der Frage, wie es mit Hilfe der Eulersche Gleichung möglich ist, die Flächenanzahl eines archimedischen Körpers zu berechnen, von welchem nur seine Charakteristik angeben ist. Ist dies für platonische noch ohne weiteres Möglich, so ergeben sich mir beim archimedischen Probleme. Meien Idee bis hierher: Eulersche Gleichung: 2= e-k-f , wobei e die Eckenanzahl, k die Kantenanzahl und f die Flächenanzahl beschriebt so z.B. für die Charakteristik 4,3,4,3 sprich für den Kuboktaeder; so könnte man definieren: e=(4v+3d)/4 und k=(4v+3d)/2 wobei v und d die Anzahl der Vierecks- und Dreiecksflächen beschreiebn also gilt: v+d=f leider komme ich ab hier nicht weiter da ich noch eine Abhängigkeit von d zu v bräuchte, welche ich der Charakteristik entnehemn müsste. ??????
15.07.2012, 09:27	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eulersche Gleichung; Charakteristik archimedischer Körper Das ist doch sehr einfach. Bei deinem Beispiel folgt aus der Charakteristik: In jeder Ecke treffen 4 Flächen zusammen, also auch 4 Kanten. Jede Kante hat 2 Ecken. Das führt zu der Gleichung: $\begin{eqnarray} (1) \quad k=\frac {4}{2}e \end{eqnarray}$ In jeder Ecke treffen 2 Dreiecke tzsammen. Jedes Dreieck hat 3 Ecken. Das führt zu der Gleichung: $\begin{eqnarray} (2) \quad d=\frac {2}{3}e \end{eqnarray}$ In jeder Ecke treffen 2 Vierecke zusammen. Jedes Viereck hat 4 Ecken. Das führt zu der Gleichung: $\begin{eqnarray} (3) \quad v=\frac {2}{4}e \end{eqnarray}$ Dann gilt natürlich $\begin{eqnarray} (4) \quad f=d+v \end{eqnarray}$ Zusammen mit der Eulerschen Polyedergleichung, die bei dir falsch dasteht, $\begin{eqnarray} (5) \quad 2=e+f-k \end{eqnarray}$ hast du nun 5 Gleichungen für 5 Unbekannte. Das funktioniert analog bei jeder Charakteristik.

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