Lagrange-Funktion

14.07.2012, 00:31	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Lagrange-Funktion Guten Abend Sitze grad an folgender Aufgabe und würde gerne wissen ob ich bisher alles richtig gemacht habe. Uns ist empfohlen worden Lagrange anzuwenden. Ich stell mir nun die Frage ob ich Lagrange richtig angewendet habe Eine Kugel mit Radius 1 wird an ihrer Oberfläche erhitzt. Wir erhalten die Temperaturverteilung $\begin{eqnarray} T_1(x,y,z)=x+2y-2z \end{eqnarray}$ . Wo ist es am kältesten? Mein Anfang: Nebenbedingung aufgestellt: $\begin{eqnarray} T_2(x,y,z): \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \end{eqnarray}$ , da es sich hier um eine Kugel handelt. Und nun beide Fumktionen als Lagrange-Funktion geschrieben: $\begin{eqnarray} L_T= T_1 + \lambda (T_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to L(x,y,z, \lambda ) = x+2y-2z + \lambda (x^2+y^2+z^2-1) \end{eqnarray}$ Nun habe ich die partiellen Ableitungen berechnet und jede $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ gesetzt, sodass ich ein Gleichungsystem erhalte. Für x habe ich die Werte $\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{-1}{3} \end{eqnarray}$ womit sich als Lösungen $\begin{eqnarray} (\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\frac{-1}{3},\frac{-2}{3},\frac{2}{3}) \end{eqnarray}$ ergeben. Es geht mir hier nicht um die direkte Lösung sondern ob ich richtig vorgegangen bin. Stimmt meine Lagrange-Funktion wie ich sie aufgestellt habe? Vielen Dank für eure Hilfe und beste Grüße
14.07.2012, 01:39	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin zwar kein Physiker, aber es sieht gut aus. Du willst ja die kälteste Stelle der Kugel. Um zu entscheiden, welcher Art die beiden Punkte sind (Maximum oder Minimum) musst du dich noch der geränderten Hesse-Matrix bemühen: $\begin{eqnarray} \overline{H}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}& \frac{\partial g}{\partial z} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial L}{\partial x \partial x} & \frac{\partial L}{\partial x \partial y} & \frac{\partial L}{\partial x \partial z} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial y} & \frac{\partial L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial L}{\partial y \partial y} & \frac{\partial L}{\partial y \partial z}\\ \\ \frac{\partial L}{\partial z} & \frac{\partial L}{\partial z \partial x} & \frac{\partial L}{\partial z \partial y} & \frac{\partial L}{\partial z \partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ g ist hierbei die Nebenbedingung. Ist det $\begin{eqnarray} \overline{H} > 0 \to \textrm{Maximum} \end{eqnarray}$ Ist det $\begin{eqnarray} \overline{H} < 0 \to \textrm{Minimum} \end{eqnarray}$ Ist det $\begin{eqnarray} \overline{H} = 0 \to \textrm{keine Entscheidung möglich.} \end{eqnarray}$ Das wäre meine Idee Mit freundlichen Grüßen.
14.07.2012, 10:18	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Kasen Vielen Dank für deine Antwort. Ich bin auch kein Physiker aber sie ist uns gestellt worden. Es ging hier auch nur um die Anwedung, damit wir Lehrämter auch mal etwas Futter haben Ob es sich um ein Extrema handelt oder um was für eine Art, müssen wir zum Glück nicht berechnen.
14.07.2012, 10:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Matheversteher, dann ist Alles klar. Ich dachte nur wegen:"Wo ist es am kältesten?". Mit freundlichen Grüßen.
14.07.2012, 11:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Matheversteher Ein Extremum --- mehrere Extrema mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »