Direkte Summe von Vektorräumen

14.07.2012, 12:32	Teilmengenmännchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Direkte Summe von Vektorräumen Meine Frage: hi ich hab hier mal versucht die direkte Summe zu definieren, bin mir nicht ganz sicher ob das so richtig ist. Bin noch etwas verwirrt von den vielen teils sich widersprechenden Aussagen bei Google und aus meiner Vorlesung. Gruß Meine Ideen: [attach]25274[/attach]
14.07.2012, 18:50	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 1.: Das ist die Definition der sogenannten inneren dirketen Summe Eigentlich definiert man es sogar so, dass darüber hinaus V+W=U sein muss. Die Definition ist äquivalent dazu, dass sich jedes Element aus $\begin{eqnarray} V\oplus W \end{eqnarray}$ eindeutig als Summe von Vektoren aus V und W darstellen lässt (ich nehme an, das ist, was deine Skizzen andeuten sollen). Zu 2.: Das ist die Definition der äußeren direkten Summe, die beiden Summen lassen sich jedoch miteinander identifizieren, weshalb man nicht zwischen den beiden unterscheidet.
14.07.2012, 19:11	Teilmengenmännchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was meinst du mit identifizieren ? im ersten Fall kann die direkte Summe zwar der "normalen" Summe (+) entsprechen muss aber nicht. Außerdem sind die Vorraussetzungen ganz anders (einmal UVR und beim 2. allg. VR) Oder meinst du dass der erste Fall ein "Spezial"-Fall des zweiten ist? Gruß und vielen Dank für die Antwort :-)
14.07.2012, 19:25	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Bezeichne $\begin{eqnarray} \oplus_{i} \end{eqnarray}$ die innere und $\begin{eqnarray} \oplus_{a} \end{eqnarray}$ die äußere direkte Summe. Wenn du den Vektorraum U hast, und V und W zwei Unterräume davon sind, dann lässt sich definieren: $\begin{eqnarray} \tilde V := \left\{(v,0)\|v\in V \right\} \subseteq V\oplus W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tilde W := \left\{(0,w)\|w\in W \right\} \subseteq V\oplus W \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} V\cong \tilde V \end{eqnarray}$ und genauso für W, der Isomorphismus ist durch $\begin{eqnarray} v \rightarrow (v,0) \end{eqnarray}$ gegeben. Außerdem ist dann $\begin{eqnarray} \tilde V\oplus_i \tilde W= V \oplus_a W \cong \tilde V \oplus_a \tilde W \end{eqnarray}$ , der Isomorphismus ist hier $\begin{eqnarray} (v,w)\rightarrow ((v,0),(0,w)) \end{eqnarray}$ , weshalb das Ergebnis der inneren isomorph zum Ergebnis der äußeren direkten Summe ist, weshalb man die nicht unterscheiden muss.
14.07.2012, 19:55	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur Ergänzung: Man würde wie auch auf dem Zettel normalerweise zuerst die innere direkte Summe für Untervektorräume eines gegebenen Raums definieren. Die Idee, die der äußeren direkten Summe zu Grunde liegt, erfüllt dann den Wunsch, zu gegeben Vektorräumen, die erstmal nichts miteinander zu tun haben müssen, einen Vektorraum zu finden, in dem zu diesen Vektorräumen isomorphe Unterräume vorkommen, sodass der gesamte Vektorraum die (innere) direkte Summe dieser UVR ist. Man kann dann auch anstatt über isomorphe Unterräume zu reden auch gleich so tun, als wenn die beiden Vektorräume selber schon als Teilräume des neuen Raums vorkommen, da das in algebraischer Hinsicht keinerlei Unterschied bedeuten würde. Diesen Wunsch hat man, weil (wie man an Anwendungen sieht) direkte Summen sehr praktische Eigenschaften haben.

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