Zufallsgrössen, Wahrscheinlichkeit

14.07.2012, 12:43

Wombat91

Zufallsgrössen, Wahrscheinlichkeit

Hallo zusammen
Ich bin am verzweifeln. Ich verstehe einfach nicht, wie man folgende Aufgabe löst:
X,Y seien zwei unabhängige Zufallsvariablen auf $\begin{eqnarray*} (\Omega,A,P) \end{eqnarray*}$ , wobei X gleichmässig verteilt ist auf [0,1] und Y standardnormalverteilt ist. Nun soll ich $\begin{eqnarray*} P(X\leq Y\leq 1) \end{eqnarray*}$ berechnen. Aber wie mache ich das?
Die Lösung ist anscheinend folgendes: $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{1}\int_{-\infty}^y f_{X,Y} dx dy \end{eqnarray*}$ . Aber ich verstehe nicht wieso? Wie man $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ berechnet ist mir klar und auch, wie man das Integral schlussendlich auflöst. Ich verstehe allerdings nicht, wie ich auf die Grenzen kommen soll? dy, dx haben doch nichts mit den Zufallsvariablen X und Y zu tun. Wie X und Y aussehen wissen wir nicht, das sind Funktionen. Wir wissen bloss, dass sie oben durch 1 beschränkt sind. Wie können wir dann sagen, dass x zwischen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sein muss?

Ich wäre sehr froh um Hilfe und danke euch schon jetzt für jeden Tipp.

14.07.2012, 13:28

HAL 9000

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Was ist daran unverständlich? Das Ereignis $\begin{eqnarray*} X\leq Y\leq 1 \end{eqnarray*}$ umfasst in der (x,y)-Ebene

den Bereich oberhalb der roten, aber unterhalb der grünen Kurve - integriert man die gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray*} f_{X,Y} \end{eqnarray*}$ über diesen Bereich, erhält man die gesuchte Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X\leq Y\leq 1) \end{eqnarray*}$ .

In vertauschter Integrationsreihenfolge wäre das

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-\infty}^1 \int\limits_x^1 f_{X,Y}(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{eqnarray*}$ ,

aber das ist rum wie num. Allerdings erweist sich die von dir genannte Integrationsreihenfolge in der Berechnung dann als günstiger. Augenzwinkern

14.07.2012, 14:20

Wombat91

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Ja, das sieht jetzt so einfach aus, aber ich verstehe eben nicht, wieso du diese rote Line so einzeichnen darfst. X ist ja einfach eine Zufallsvariable, d.h. eine Funktion vom Ereignisraum nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Wer sagt mir, dass X eine Funktion ist die aussieht wie f(x)=x?
Sorry, wegen der doofen Fragerei, aber ich bin halt etwas schwer von Begriff.

14.07.2012, 14:28

Wombat91

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Ah, oder war das mehr ein Beispiel, wie X aussehen könnte?

Edit: Nein, das wäre ja völliger Schwachsinn.

14.07.2012, 15:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Wombat91
Wer sagt mir, dass X eine Funktion ist die aussieht wie f(x)=x?

Es sieht so aus, als ob DU das sagst, und nur du - und es ist inhaltlich völliger Unsinn.

Ich habe nur über das Integrationsgebiet geredet, denn für stetige Zufallsgrößen bzw. -vektoren ist nun mal

$\begin{eqnarray*} P((X,Y)\in A) = \iint\limits_A f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

für beliebige (messbare) Teilmengen $\begin{eqnarray*} A\subseteq \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ .

14.07.2012, 15:16

Wombat91

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Ach so, dann ist $\begin{eqnarray*} P((X,Y) \in \{(x,y)\in \mathbb{R}^2: x\leq y\leq 1\} \end{eqnarray*}$ eine andere Schreibweise für $\begin{eqnarray*} P(X\leq Y\leq 1) \end{eqnarray*}$ ?

Das wusste ich nicht, ich glaub' das hat uns unser Prof nicht aufgeschrieben. Dann wäre natürlich alles klar.

Edit: Ich hab' nachgeschaut, dass hat unser Prof wirklich nie aufgeschrieben, genauso wenig wie. $\begin{eqnarray*} P((X,Y)\in A) = \iint\limits_A f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$
Das erklärt natürlich einiges.