Richtungsableitung

14.07.2012, 13:24	flow87	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung Hallo, ich möchte die Richtungsableitung der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+y^{4}} , (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 , (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ im Punkt $\begin{eqnarray} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray}$ für alle Richtungen bestimmen. Ich habe mir also zunächst den Vektor $\begin{eqnarray} e =\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} : \|\|e\|\|=1 \end{eqnarray}$ gewählt. Für die Richtungsableitung müsste jetzt der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} \frac{f(0+te)-f(0) }{t} \end{eqnarray}$ existieren. => $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} \frac{f(t\vec{e}) }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{f(te_{1}, te_{2} ) }{t} =\lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^{2} e_{1} ^{2} t^{2} e_{2} ^{2} }{t^{4} e_{1} ^{4}+t^{4} e_{2} ^{4}} }{t} = \lim_{t \to 0} \frac{e_{1} ^{2}e_{2} ^{2}}{t(e_{1} ^{4}+e_{2} ^{4})} \end{eqnarray}$ Daraus würde ich jetzt schließen, dass der Grenzwert im Punkt (0,0) nicht existiert und schließlich auch keine Richtungsableitungen existieren. Leider scheint aber die richtige Lösung zu sein, dass in Richtung der Vektoren $\begin{eqnarray} e_{1} =(1,0) e_{2} =(0,1) \end{eqnarray}$ trotzdem Richtungsableitungen existieren. Ich lese zum Thema Richtungsableitungen irgendwie überall eine andere Vorgehensweise. Mein Weg ist ja offensichtlich schon mal falsch... Kann mir bitte jemand sagen wo der Fehler liegt? Vielen Dank!
14.07.2012, 15:11	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine Formel ist richtig. Versuche doch noch mal von Anfang an (bzw. mit deiner letzten Formel), mit den konkreten Richtungen die Richtungsableitungen zu berechnen. Und siehe da ...
14.07.2012, 16:20	flow87	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich glaub ich steh immer noch auf dem Schlauch... wenn t gegen 0 geht kann ich doch für e1 und e2 einsetzen was ich will, da wird der Nenner immer gegen 0 gehen?
14.07.2012, 17:09	carm561	Auf diesen Beitrag antworten »
Da Cel gerade nicht da zu sein scheint, mische ich mich mal ein: Was ist, wenn in deinem Vektor $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ z.B. $\begin{eqnarray} e_1=0 \end{eqnarray}$ gilt?
14.07.2012, 18:20	flow87	Auf diesen Beitrag antworten »
dann wird der Zähler wohl auch 0. Aber was ist mit dem Nenner bzw. mit meiner Grenzwertbetrachtung. Denn unabhängig von e1 und e2 muss ich doch t->0 laufen lassen und stell dann fest dass gar kein Grenzwert existiert oder täusche ich mich? Die Richtungsableitung müsste ja eine Schnittfunktion durch den Graphen in Richtung e bzw. im Punkt (0,0) sein. Und dann will ich eigentlich nur wissen, ob die Ableitung der Schnittfunktion im Punkt (0,0) existiert, oder? Und jetzt habe ich festgestellt, dass im Punkt (0,0) nie eine Ableitung existieren kann, weil der Grenzwert nicht existiert. Wie soll ich dann darauf schließen, dass die Funktion aber in Richtung der Achsen doch Richtungsableitungen (bzw. müssten das dann ja partielle Ableitungen sein) existieren?
14.07.2012, 18:55	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
0 durch irgendwas ist immer 0, also $\begin{eqnarray} \lim_{t \to 0} \frac 0 t = \lim_{t \to 0 }0 \end{eqnarray}$ . Und bei Konstanten geht Grenzwertbildung sehr einfach.
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14.07.2012, 22:10	flow87	Auf diesen Beitrag antworten »
super, danke! dachte zwar eigentlich dass 0/0 nie definiert ist (dafür wird im Eindimensionalen ja auch L'Hospital verwendet) aber dann macht das Ergebnis wenigstens Sinn
14.07.2012, 23:00	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
0/0 ist auch nicht definiert. Hier steht lediglich 0/t mit t ungleich 0. Das ist 0. Erst dann geht's an den Grenzwert. Beim Berechnen gilt immer: Erst so weit wie möglich vereinfachen. Und wenn man das hier macht, steht da eine Konstante 0.

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