Matrix-Exponentialfunktion

14.07.2012, 16:00

Newbie...

Matrix-Exponentialfunktion

Hallo,
ich habe da gerade ein Problem mit der Matrix-Exponentialfunktion.
Definiert haben wir die in der Lesung als:
$\begin{eqnarray*} e^{A}:=E_n+\sum\limits_{m=1}^\infty \frac{A^m}{m!} \end{eqnarray*}$
für
$\begin{eqnarray*} A\in Mat(nxn,K) \end{eqnarray*}$

Soo, für Diagnoalmatrizen ist das ganze eine recht simple Geschichte, das verstehe ich auch noch.
Zum Beispiel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} e^{A}=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} \lambda_1&0 \\ 0&\lambda_2 \end{pmatrix}+\frac{1}{2!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0 \\ 0&\lambda_2 \end{pmatrix}^2+...= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1+\lambda_1+\frac{1}{2!}*(\lambda_1)^2+...&0 \\ 0&1+\lambda_2+\frac{1}{2!}*(\lambda_2)+... \end{pmatrix}= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0 \\ 0&e^{\lambda_2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kompliziert wird das ganze dann allerdings wenn ich das für eine "nicht-Diagonalmatrix" machen soll. Probiert habe ich das an folgendem Beispiel: $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich mal drauf los entwickelt:
$\begin{eqnarray*} e^{B}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}+\frac{1}{1!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}+\frac{1}{2!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}^2+\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}^3+\frac{1}{4!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}^4+...= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}+\frac{1}{1!}*\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&1 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix}+\frac{1}{2!}*\begin{pmatrix} {\lambda_1}^2&0&0 \\ 0&{\lambda_2}^2&2*\lambda_2 \\ 0&0&{\lambda_2}^2 \end{pmatrix}+\frac{1}{3!}*\begin{pmatrix} {\lambda_1}^3&0&0 \\ 0&{\lambda_2}^3&3*{\lambda_2}^2 \\ 0&0&{\lambda_2}^3 \end{pmatrix}+\frac{1}{4!}*\begin{pmatrix} {\lambda_1}^4&0&0 \\ 0&{\lambda_2}^4&4*{\lambda_2}^3 \\ 0&0&{\lambda_2}^4 \end{pmatrix}+...= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} {1+\lambda_1+\frac{1}{2!}*{\lambda_1}^2+\frac{1}{3!}*{\lambda_1}^3+\frac{1}{4!}*{\lambda_1}^4}+...&0&0 \\ 0&{1+\lambda_2+\frac{1}{2!}*{\lambda_2}^2+\frac{1}{3!}*{\lambda_2}^3+\frac{1}{4!}*{\lambda_2}^4+...}&{1+\frac{1}{2!}*2*{\lambda_2}}+\frac{1}{3!}*3*{\lambda_2}^2+\frac{1}{4!}*4*{\lambda_2}^3+... \\ 0&0&{1+\lambda_2+\frac{1}{2!}*{\lambda_2}^2+\frac{1}{3!}*{\lambda_2}^3+\frac{1}{4!}*{\lambda_2}^4+...} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&0 \\ 0&e^{\lambda_2}&??? \\ 0&0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da wo die drei Fragezeichen stehen, was muss jetzt da hin?
Ich habe den Eintrag der da in der Matrix steht mal ein bischen aufgebröselt:
$\begin{eqnarray*} ???={1+\frac{1}{2!}*2*{\lambda_2}}+\frac{1}{3!}*3*{\lambda_2}^2+\frac{1}{4!}*4*{\lambda_2}^3+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={1+\frac{1}{(1*2)}*2*{\lambda_2}}+\frac{1}{(1*2*3)}*3*{\lambda_2}^2+\frac{1}{(1*2*3*4)}*4*{\lambda_2}^3+... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ={1+{\lambda_2}}+\frac{1}{(1*2)}*{\lambda_2}^2+\frac{1}{(1*2*3)}*{\lambda_2}^3+... \end{eqnarray*}$
Was ja identisch ist zu:
$\begin{eqnarray*} =1+\lambda_2+\frac{1}{2!}*{\lambda_2}^2+\frac{1}{3!}*{\lambda_2}^3+....=e^{\lambda_2} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist nur, liege ich damit richtig?^^ Ich wär sehr dankbar dafür wenn da mal jemand rüberschauen könnte.

MfG

15.07.2012, 01:52

frank09

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RE: Matrix-Exponentialfunktion
Du kannst jede Matrix A als Summe einer diagonalisierbaren Matrix X und einer nilpotenten Matrix N , $\begin{eqnarray*} N^k=0 \end{eqnarray*}$ darstellen. Matrix N hat nur oberhalb der Diagonalen von Null verschiedene Einträge.

$\begin{eqnarray*} A=X+N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^A=e^{X+N}=e^Xe^N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^X \end{eqnarray*}$ ist klar, weil X diagonalisierbar

$\begin{eqnarray*} e^{N}=E_n+\sum\limits_{m=1}^k \frac{A^m}{m!} \end{eqnarray*}$
Reihe bricht nach der k-ten Potenz ab, ist also leicht auszurechnen:
$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&0 \\ 0&0&\lambda_2 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}^2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^B=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&0 \\ 0&e^{\lambda_2}&0 \\ 0&0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix}(E_3+\begin{pmatrix} 0&0&0 \\ 0&0&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&0 \\ 0&e^{\lambda_2}&0 \\ 0&0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} e^{\lambda_1}&0&0 \\ 0&e^{\lambda_2}&e^{\lambda_2} \\ 0&0&e^{\lambda_2}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

15.07.2012, 10:01

Newbie...

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Aah, mjoa, so geht das natürlich einfacher...^^
Aber kannst du mir sagen ob das was ich da oben gemacht habe auch richtig ist? Dann hätte ich zumindest das Prinzip verstanden, darum gehts mir auch.
Aber so wie du das berechnest ist das auf jeden Fall mal wesentlich einfacher, dafür schonmal danke!!

MfG

15.07.2012, 10:10

Bernhard1

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Zitat:

Original von Newbie...
Aber kannst du mir sagen ob das was ich da oben gemacht habe auch richtig ist?

Deine Rechnung ist zwar nicht so elegant wie die von Frank aber dennoch fehlerfrei Augenzwinkern

15.07.2012, 11:25

Newbie...

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Ok, danke dir^^ Ich werd das so aber auch nie wieder machen, jetzt wo ich gesehen hab wie einfach es sein kann...^^

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