Maximum und Minimum - Funktion mit 3 Variablen

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14.07.2012, 17:32

Matheversteher

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Maximum und Minimum - Funktion mit 3 Variablen

Hallo alle zusammen smile

Ich sitze an dieser Aufgabe und überlege was ich machen muss verwirrt

Es sei $\begin{eqnarray*} S:= \left\{ (x,y,z \in \mathbb R^3 | x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} \end{eqnarray*}$ die oberfläche der dreidimensionalen Einheitskugel. Finden Sie das globale Maximum und das globale Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} F:S\to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(x,y,z):= \arctan x +\arctan y + \arctan z \end{eqnarray*}$ .

Muss ich jetzt hier eine Lagrangefunktion aufstellen und dies partiell Ableiten?

Also: $\begin{eqnarray*} L(x,y,z,\lambda) = \arctan x +\arctan y + \arctan z + \lambda (x^2+y^2+z^2 - 1) \end{eqnarray*}$
die muss ich dann partiell ableiten und $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ setzen

mögliche Ergebnisse müsste ich dann mit dieser Hessematrix berechnen (identifizieren):
$\begin{eqnarray*} \overline{H}=\begin{pmatrix} 0 & \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}& \frac{\partial g}{\partial z} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial L}{\partial x \partial x} & \frac{\partial L}{\partial x \partial y} & \frac{\partial L}{\partial x \partial z} \\ \\ \frac{\partial g}{\partial y} & \frac{\partial L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial L}{\partial y \partial y} & \frac{\partial L}{\partial y \partial z}\\ \\ \frac{\partial L}{\partial z} & \frac{\partial L}{\partial z \partial x} & \frac{\partial L}{\partial z \partial y} & \frac{\partial L}{\partial z \partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit richtig?
Eine ähnliche Aufgabe habe ich vor kurzem hier im Forum gepostet und frage mich jetzt ob diese hier genauso geht.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Ich danke euch! smile

14.07.2012, 22:57

mYthos

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Ja, diese Aufgabe sollte mit Lagrange zu lösen sein (das habe ich aber jetzt nicht mehr weiter verfolgt).

Deine Hesse-Matrix ist die "geränderte" Hesse-Matrix, wie sie schon in deinem anderen Thread vorgestellt wurde. Hierbei ist für die Feststellung des Charakters des Extremwertes das Vorzeichen der Determinante entscheidend, während die "normale" 3 x 3 Hesse-Matrix auf deren Definitheit zu untersuchen ist.

Bei den Symbolen für die 2. Ableitungen ist ein formaler Fehler. Da es sich ja dabei um 2. Ableitungen handelt, fehlt der entsprechende Bezeichner "2"!

mY+

15.07.2012, 19:22

Matheversteher

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ok alles klar, danke dir mYthos. Icwh erde das dann berechnen.

mit

Zitat:

Original von mYthos
Bei den Symbolen für die 2. Ableitungen ist ein formaler Fehler. Da es sich ja dabei um 2. Ableitungen handelt, fehlt der entsprechende Bezeichner "2"!

meisnt du bestimmt, dass ich zum Beispiel statt
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ richtigerweise $\begin{eqnarray*} \frac{\partial^2 L}{\partial x \partial y} \end{eqnarray*}$ schreiben müsste.

Noch eine Frage die mich beschäftigt woher kommt die "0" in meiner Matrix oben links? Ist das Konvention dass sie da steht oder ist das in diesem Fall Zufall?

15.07.2012, 22:10

mYthos

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Ja richtig, diese hochgestellte 2 war gemeint.

Und ja, die Null muss immer dort stehen, denn diese kommt offensichtlich vom Nullsetzen der Nebenbedingung.
Offen gesagt, bisher kannte ich diese Matrix auch nicht, sie steht bei

http://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix

bisher war mir nur die "normale" Hesse-Matrix geläufig.

mY+

16.07.2012, 01:31

Kasen75

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Hallo,

prinzipiell kann man die Matrix auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \overline{H}=\begin{pmatrix} \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial y}& \frac{\partial ^2 \L}{\partial \lambda\partial z} \\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial x\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial x \partial z} \\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial y\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial y \partial z}\\ \\ \frac{\partial ^2 \L}{\partial z\partial \lambda} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial x} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial y} & \frac{\partial ^2 \L}{\partial z \partial z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ensteht in der linken oberen Ecke auch eine Null.

Mit freundlichen Grüßen.

16.07.2012, 12:22

Matheversteher

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Alles klar smile

Ich danke euch beiden!

17.07.2012, 04:00

Kasen75

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Gerne.

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