Näherungslösung?

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mars123 Auf diesen Beitrag antworten »
Näherungslösung?
Meine Frage:
Hey,

folgendes Polynom (Kostenfunktion) soll Null gesetzt werden: (1/50)x-2/(x^2)-(1/8) = 0

Im Buch steht nur die Näherungslösung für x wäre 7,87. Mit welchem Verfahren wurde das ermittelt?

Meine Ideen:
Ich kenne nur das Newtonsche Näherungsverfahren, aber das kommt ja nur bei Polynomen 3.Grades zur Anwendung, oder?

Danke Vorab!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorerst sollte geklärt werden wie die Funktion aussieht:



oder





Eins von denen, oder doch anders?

smile
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

f2(x) ist die richtige Gleichung.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Dann können wir nun anfangen.



Was genau stört dich bei der Berechnung? Wo hängst du?

smile
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Super Augenzwinkern

Mich stört, dass 1. im Buch steht "Näherungslösung", ich also davon ausgehe, dass irgend ein mir nicht bekanntes Verfahren verwendet wurde

und

2. Der Quotient. Quotienten waren noch nie mein Freund. Wäre der nicht, könnte ich ja mit einer quadratischen Ergänzung weiter machen.

Aber ich habe dann ja auch 2 Lösungen und wüsste nicht, welches die richtige ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Quotient ist das erste was uns stört. Richtig. Freude

Wie kriegen wir den weg?

Zitat:
Mich stört, dass 1. im Buch steht "Näherungslösung", ich also davon ausgehe, dass irgend ein mir nicht bekanntes Verfahren verwendet wurde


Es wird auf das Newton-Verfahren hinauslaufen. Augenzwinkern

Doch dazu müssen wir die Gleichung ein wenig verschönern.
Das wir den Quotienten also das von:

wegbekommen müssen hast du ja schon richtig festgestellt.

Tue dies zu erst. Wie geht es weiter?
 
 
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja,

richtig?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist richtig.

Also

Es hilft uns bloß nicht wirklich weiter.

Wir müssen den Nenner oder die negative Potenz irgendwie wegbekommen.

Das machen wir indem wir mit dem Nenner multiplizieren.

Also die komplette Gleichung mit multiplizieren.

Ist dir der Schritt klar?

Was erhältst du wenn du das getan hast?
Wie gehst du dann weiter fort?
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

AHA! smile

Dann bekommen wir, wenn ich nicht daneben liege:



und könnten nun mit Polynomdivision ein x herausfinden, das nahe der Nullstelle liegt, um dann das Newtonsche Näherungsverfahren zu starten.

Beides habe ich schon ewig nicht mehr gemacht...ohje...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und könnten nun mit Polynomdivision ein x herausfinden, das nahe der Nullstelle liegt, um dann das Newtonsche Näherungsverfahren zu starten.


Da vertauscht du einige Dinge. Wir brauchen zu erst eine Nullstelle, die wir mit dem Newton-Verfahren finden um danach die Polynomdivision zu machen.

Deine Gleichung ist so korrekt. Freude

Ich würde jedoch zur verschönerung noch mit 50 multiplizieren um den Bruch vor dem x^3 zu entfernen. Das ist aber nicht notwendig. Ich finde es bloß schöner zum weiterrechnen.

Also:



Jetzt sehen wir, aha, Funktion 3ten Grades wo wir nichts ausklammern können und substitution ist auch nicht drin. Also Polynomdivision. Dazu raten wir eine Nullstelle. Das geht hier auch schlecht. Deshalb müssen wir aufs Newton-Verfahren zurück greifen.

Das lautet so:



Wir packen uns irgendeinen Startwert x_0 und setzen diesen in die Gleichung ein. Das Ergebnis ist unser neues x_0 kommt wieder in die Gleichung ..... usw. bis wir ein Zufriedenstellendes Ergebnis zu erhalten.

Um diese Schritte so klein wie möglich zu halten, wählen wir den Startwert geschickt. Ein geschickter Startwert ist ein Wert, der nahe der Vermuteten Nullstelle liegt. Hier wissen wir ja, dass sie bei ca. 7,87 liegt und können so mit 7,5 Beispielsweise starten.

Haben wie einen solchen Wert nicht gegeben, so macht man sich eine Wertetabelle und guckt bei welchem Wert das erste mal ein Vorzeichenwechsel stattfindet.

Der geschickte Startwert liegt dann zwischen diesen Werten (Zwischenwertsatz)

Ist das Prinzip jetzt wieder einigermaßen dar?

Dann würde ich sagen zu erst einmal Ableiten. Das brauchen wir ja fürs Newton-Verfahren und dann ran an den Speck. Als x_0 nehmen wir wie gesagt 7,5.

smile
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, ich danke Dir sehr!

Habe unseren Freund Newton angewendet und komme auf die Näherungslösung im Buch.

Ein schönes Wochenende!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so voreilig. Lehrer Big Laugh

Mit dieser Lösung ist nun noch die Polynomdivision durchzuführen, um auf andere Nullstellen zu prüfen.
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, aber ich studiere ja kein Mathe sondern BWL smile

Und in diesem Fall handelt es sich bei der obigen Funktion um die erste Ableitung einer Stückkostenfunktion. Es sollte deren Minimum rausgefunden werden, dort ist ja die Ableitung = 0. Hier sind also die Stückkosten minimal.

Im Buch wird jetzt nicht näher darauf eingegangen, dass es noch andere Minima geben könnte, die aber evtl. nicht im relevanten Bereich liegen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme von einer Wirtschaftsschule und dort mussten wir in diesem Fall auch noch die Polynomdivision durchführen um auf weitere Nullstellen zu prüfen. Bei solchen Kurvenverläufen gibt es jedoch keine mehr.

Sowas macht man im BWL Studium? geschockt

Das ist Mathematik 12 Klasse. Ich bin schockiert. verwirrt


Schönes Wochenende dir. Wink
mars123 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja man macht es nur indirekt im Studium.

Es war eben im Buch auch nicht beschrieben und in den Vorlesungen wurde es natürlich auch nicht vorgerechnet, d.h. man setzt vorraus, dass man es kann.

Nur war das bei mir leider nicht der Fall. In der Schule nie gemacht und dann an der Uni kurz in der Mathevorlesung angeschnitten...aber das ist ja auch schon wieder 1,5 Jahre her...

Von daher: Du hast beste Vorraussetzungen zum BWL-Studium smile

Gruß und Danke nochmal!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dan hoffe ich, dass ich dir weiter helfen konnte und du zukünftig weist, wie man an eine solche Aufgabe ran geht.

Immer zu erst die nervigen Brüche entfernen. Augenzwinkern

Wenn alle Methoden der Lösung versagen, dann greift immer das Newton-Verfahren. Damit kriegst du jede Gleichung klein. Big Laugh

Das ist wie Antibiotika.

Zitat:
Du hast beste Vorraussetzungen zum BWL-Studium


Nie im leben. Big Laugh

Aber wer es mag.

Wink
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