Integration vom Trägheitsmoment eines Würfels

14.07.2012, 20:10	Salatblatt	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration vom Trägheitsmoment eines Würfels Meine Frage: Ich scheitere gerade dabei folgendes Integral zu lösen: $\begin{eqnarray} \int_{x,y,z=-a/2}^{a/2} (y^2+z^2) dxdydz \end{eqnarray}$ Wes interessiert wo das herkommt, das ist, multipliziert mit der Dichte, das Trägheitsmoment eines im Ursprung gelegenen Würfels der sich um die x-Achse dreht. Meine Ideen: Ich habe zuerst nach x, dann nach y und zum schluss nach z integriert, wobei ich bei der Integration nach z das y als konstant angesehen habe und bei der integration nach y das z als Konstante. Somit komme ich auf $\begin{eqnarray} a^5/6 \end{eqnarray}$ Richtig wäre aber $\begin{eqnarray} a^5 \cdot 16/3 \end{eqnarray}$ und ich weiß nicht warum? Bzw. wie löst man dieses Integral mit der Summe richtig?
14.07.2012, 20:55	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde erst mal $\begin{eqnarray} k=\frac 12 a \end{eqnarray}$ setzen. jetzt das Viertelquadrat um die X-Achse: $\begin{eqnarray} I_{0.25}= \int_0^k \int_0^k y^2+z^2 \dd y \dd z \end{eqnarray}$ mal 4 ergibt das Flächenträgheitsmoment des Quadrates mal .... ......... etc. etc.. egal wie, ich komme auch auf $\begin{eqnarray} I_{x}=\frac {a^5}{6} \end{eqnarray}$ als Volumenträgheitsmoment.
14.07.2012, 21:07	Salatblatt	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Hey vielen Dank! Ich bin einfach nur dumm! $\begin{eqnarray} a^5 /6 \end{eqnarray}$ stimmt natürlich. Ich hatte das bei Wolfram Alpha eingegeben und der hats mit der Länge 2a gemacht und nicht mit der Länge a vom Würfel, ich denke dass das der Fehler sein wird. Ich werde es gleich nochmal nachrechnen mit den Integrationsgrenzen von -a bis a überall, dann sollte hoffentlich dieses $\begin{eqnarray} 16/3 \cdot a^5 \end{eqnarray}$ herauskommen. Danke! Ich war schon am verzweifeln

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