Warum gibt es Gleichungen, die Lösungen haben, die man aber nicht lösen kann?

Neue Frage »

Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »
Warum gibt es Gleichungen, die Lösungen haben, die man aber nicht lösen kann?
Meine Frage:
Meine Frage ist, warum man bestimmte Gleichungen mathematisch nicht exakt lösen kann, sondern die entweder nur per Näherungsrechnung oder nur per Simulation zu lösen sind? Zum Beispiel Gleichungen, die den Modulo enthalten, sind meistens nicht zu lösen, aber sie haben definitiv Lösungen! Liegt das einfach an der Natur der Mathematik oder ist diese einfach noch nicht weit genug entwickelt, um solche Gleichungen lösen zu können?

Meine Ideen:
Die Mathematik ist noch lange nicht komplett, deswegen kann man die Gleichungen (noch) nicht lösen, das ist meine Meinung.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum gibt es Gleichungen, die Lösungen haben, die man aber nicht lösen kann?
Zitat:
Original von Thilo87
Meine Frage:
Zum Beispiel Gleichungen, die den Modulo enthalten, sind meistens nicht zu lösen, aber sie haben definitiv Lösungen!

Da würde ich gerne ein Beispiel sehen... M.E. gibt es ja bei "Gleichungen" mod m nur endlich viele Möglickeiten für die Variablen, die man ja prinzipiell alle durchprobieren kann...

Zitat:
Original von Thilo87
Liegt das einfach an der Natur der Mathematik oder ist diese einfach noch nicht weit genug entwickelt, um solche Gleichungen lösen zu können?

Hängt vom Problem ab und lässt sich so allgemein nicht beantworten... Auch da wäre uns daher mit Beispielen gedient...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Warum gibt es Gleichungen, die Lösungen haben, die man aber nicht lösen kann?
Hallo,

immerhin lassen sich bestimmte Gleichungen beliebig genau lösen. Was möchtest du mehr?

Und es ist tatsächlich so, dass bestimmte Gleichungen exakt nicht gelöst werden können. Nicht weil die Mathematik nicht weit genug ist, sondern weil es prinzipiell nicht geht.

Abakus smile
Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also ich hatte mich letztens mit der Frage beschäftigt, ob es eine Formel gibt, die in Abhängigkeit von der Zeit t den Ort x eines Teilchens (keine Ausdehnung) angibt, das in einem Würfel mit den Ausmaßen dx * dy * dz mit der Geschwindigkeit (vx, vy, vz) (nur positive Werte) nur ideal elastische Stöße mit den Gefäßwänden ausführt. Also das Teilchen fliegt wild umher und prallt überall von den Gefäßwänden ab, ohne irgendwelche Energie zu verlieren.

Eine Formel dafür habe ich mir gebastelt:


Für y(t) und z(t) dieselbe Formel, nur mit d_y, y_0, v_y usw.

Jetzt interessiert mich, wann das Teilchen an einem bestimmten Ort ist und ob überhaupt, besonders interessiert mich, wann das Teilchen das erste Mal wieder an seinem Ursprungsort (x_0, y_0, z_0) angekommen ist. Per Simulation konnte ich sehen, dass das sehr häufig vorkommt bei bestimmten Werten, manchmal aber scheinbar überhaupt nicht oder erst nach einer ewig langen Zeitspanne.

Also um zu wissen, wann und ob das Teilchen an einem bestimmten Ort ist, müsste ich ja jetzt ein Gleichungssystem lösen:







Aber wie gesagt, ich denke eben nicht, dass dieses Gleichungssystem ohne Näherung oder Simulation zu lösen ist
Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber die Frage ist halt, warum nicht? Ich bin der Meinung, dass theoretisch jede Gleichung zu lösen sein sollte, wenn sie eine Lösung hat.

Noch ein Beispiel:

Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Wen die Simulation interessiert: verstehenblog.de/muster.exe

Ich finde es übrigens sehr interessant, welche Muster dabei entstehen Big Laugh Aber muss nicht immer ganz exakt sein, manche Muster entstehen auch nur wegen der Pixel-Auflösung oder weil um die Position eines Pixels anzugeben nur Integer-Werte zulässig sind, also automatisch gerundet wird. Aber auf jeden Fall sieht man, dass bei bestimmten Werten das Teilchen das oben links in der Ecke startet wieder zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrt.
 
 
PhyMaLehrer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt leider auch kein Beispiel, aber es sind hier im Forum schon mehrfach Fragen aufgetaucht, wie eine Gleichung nach einer Variablen aufgelöst werden kann, wo die Antwort war, daß die Gleichung sich nicht analytisch lösen läßt. Natürlich kann man beliebig genaue Näherungslösungen angeben, aber man kann die Gleichung eben nicht "nach x auflösen".
Mich würde auch interessieren, woran man das sieht. Augenzwinkern So komlpiziert wie hier weiter oben sahen diese Gleichungen nämlich jeweils gar nicht aus...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Thilo87
Noch ein Beispiel:


Die Aufgabe hat ein Witzbold gestellt: Man kann man leicht feststellen, dass



gilt, daher ist diese deine Gleichung äquivalent zu



mit der Teileranzahlfunktion . Tja, und ist bekanntlich genau dann erfüllt, wenn Primzahl ist. Big Laugh
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von PhyMaLehrer
aber man kann die Gleichung eben nicht "nach x auflösen".
Mich würde auch interessieren, woran man das sieht. Augenzwinkern So komlpiziert wie hier weiter oben sahen diese Gleichungen nämlich jeweils gar nicht aus...


Beachte einen kleinen, feinen Unterschied:
Es kann durchaus sein, dass man eine Gleichung prinzipiell nach einer Variablen auflösen kann, nur eben eine praktische Durchführung nicht möglich ist [Stichwort: Satz über implizite Funktionen / Umkehrsatz].
Daneben könnte es aber sein, dass eine Gleichung tatsächlich überhaupt nicht nach einer Variablen lösbar ist, auch wenn mir davon kein Beispiel einfallen mag.

Natürlich bringt einen diese Bemerkung in der Praxis nicht weiter...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Klassiker für nicht nach einer Variablen auflösbare Gleichungen sind ja immer Nullstellen von Polynomen mit nicht auflösbarer Galoisgruppe, z.b. .

Es ist ein leichtes festzustellen, dass es genau 3 reelle und 2 komplexe Lösungen gibt. Lustigerweise ist es aber auch genau dieser Umstand, der einem sicherstellt, dass man die Nullstellen nicht exakt angeben können wird.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, man sollte sich generell von der Vorstellung trennen, falls man ihr anhängt, dass Lösbarkeit eines mathematischen Problems sowas wie der "Normalfall" ist... Das genaue Gegenteil ist der Fall: Der typische Fall ist eigentlich der, dass man ein mathematisches Problem nicht unter den Originalvoraussetzungen, sondern nur unter vereinfachenden zusätzlichen Annahmen lösen kann und auch dann oft nur näherungsweise und nicht exakt... Bei vielen Diophantischen Gleichungen kann man von vornherein gar nicht sagen, ob Lösungen überhaupt existieren, geschweige denn, wie sie dann aussehen... Oft weiß man zwar, dass Lösungen existieren, kann sie aber ohne Zusatzinformationen nicht in vernünftiger Zeit berechnen, wie dies bei asymmetrischen Chiffrierverfahren geradezu Voraussetzung ist...

Man kann auch noch die Frage problematisieren, was man überhaupt als "exakte" Lösung ansieht.. Ist z.B. die Lösung von im Bereich der reellen Zahlen?... Vielen würden darauf bedenkenlos mit ja antworten, obwohl es sich dabei genau genommen nur um eine andere Schreibweise von handelt... Eigentlich meint man damit sowas wie "Das Problem ist für mich gelöst, denn ich kenne einen Algorithmus, mit dem ich auf beliebig viele Nachkommastellen berechnen kann"... Tatsächlich ist dies etwas Besonderes und ein unglaublichlicher Sonderfall, da eine solche Aussage nur für abzählbar viele reelle Zahlen zutrifft... Die "Berechenbarkeit" einer reellen Zahl ist also typischerweise gar nicht gegeben...
Thilo87 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Der typische Fall ist eigentlich der, dass man ein mathematisches Problem nicht unter den Originalvoraussetzungen, sondern nur unter vereinfachenden zusätzlichen Annahmen lösen kann und auch dann oft nur näherungsweise und nicht exakt...


Aber ist das nicht ein Zeichen dafür, dass wir das System dahinter noch nicht vollständig verstanden haben, wenn wir ein mathematisches Problem nicht exakt lösen können? Oder liegt es daran, dass einfach kein Weg existiert , dieses Problem zu lösen? Das wäre vergleichbar mit einer Insel, auf der die Lösung ist, aber es gibt keine Schiffe, mit der man die Insel erreichen könnte. Vielleicht müssen wir noch das "Schiff" entdecken. Augenzwinkern Ich kann mir schwer vorstellen, dass Lösungen existieren, zu denen kein Weg existiert. Warum, weiß ich auch nicht. Nur so ein Gefühl.

Vielleicht sind Menschen auch nicht intelligent genug, um die richtigen Wege zu finden. Vielleicht ändert sich das ja, wenn eine ordentliche KI entwickelt worden ist. Nur ein wenig Zukunftsmusik Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, da sind einmal die Probleme, welche prinzipiell unlösbar, genauer nicht entscheidbar sind, wie das sog. Halteproblem... Dann kann es Sätze innerhalb eines aximatisch fundierten Systems geben, für die weder deren Richtigkeit, noch deren Fakschheit bewiesen werden kann, d.h., das Axiomensystem ist "zu schwach" dafür... Insbesondere könnte man die Aussage des Satzes oder auch das Gegenteil davon als neues Axiom dann dazugeben, ohne einen Widerspruch zuz erhalten... Die Kontinuumshypothese ist ein schönes Beispiel dafür, aber vielleicht gehören dazu auch andere Sätze, um deren Beweis man heute noch ringt...

Tja, und dann gibt es natürlich auch die mathematischen Probleme, die prinzipiell lösbar wären, aber für deren Lösung heute noch nicht die nötigen Werkzeuge entwickelt wurden... Wie mir scheint hast du einzig und allein diese Probleme im Auge, obwohl es ja bei dem ungeheuren Menge an neuen Publikationen laufend weniger werden... Und wiel du die KI ansprichst, welcher Fortschritt da in den letzten Jahrzehnten schon erzielt wurde, sieht man nur als kleines Beispiel bei den Schachcomputern: Als die ersten aufkamen, waren sie noch so lachhaft schwach, dass sie allenfalls als Sparringpartner für Anfänger dienen konnten, inzwischen sind gegen die besten Programme auch schon die Profis absolut chancenlos... Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

sehr schön, dass das mit den Schachprogrammen mal in Mathe von Dir angesprochen wurde.
Die besten Spieler sind nicht chancenlos, sondern können höchstens ein Remis erreichen.
Die Spielstärke bemisst sich nicht an "Wunderzügen", sondern nur noch darin keine Fehler mehr zu machen oder nur darin, weniger Fehler als der Gegner zu machen.
Gelegentlich gibt es noch Grossmeisterzüge, deren Sinn "noch" hinter dem Horizont des Programms liegen...
das gilt aber nur für Menschenpartien Augenzwinkern

--------------------------

dafür gibt es auch noch dem Schach- Thread

Schach
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »