Ableitung der Matrix-Inversion

15.07.2012, 16:39

MLRS

Ableitung der Matrix-Inversion

Hi,

habe folgende Übungsaufgabe bekommen:
Zeigen Sie mit Hilde der Definiton der Differenzierbarkeit, dass die Inversenbildung $\begin{eqnarray*} I: Gl(n,\mathbb R) \to \mathbb R^{n\times n}: P \mapsto P^{-1} \end{eqnarray*}$ in jedem Punkt $\begin{eqnarray*} Q \in Gl(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist und berechnen Sie die Ableitung.

Für die Differenzierbarkeit habe ich folgende Definition:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^m \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist genau dann in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} A: \mathbb R^m \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gibt, sodass gilt:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0)+A(x-x_0)+R(x,x_0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim _{x\to x_0} \frac{R(x,x_0)}{|x-x_0|}=0 \end{eqnarray*}$

Bei unseren bisherigen Beispielen haben wir die Ableitung (bzw. die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ) "erraten" und geprüft, ob die Genzwertvoraussetzung erfüllt ist.
Bei diesem Beispiel weiß ich aber nicht, was für die Ableitung herauskommen soll.
Erwarten würde ich etwas wie $\begin{eqnarray*} A=-(P^{-1})^2 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sollte ja aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4\times 4} \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

Muss ich die Matrizen als $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ -dimensionale Vektoren auffassen oder kann ich bei der Matrizen Schreib- un Denkweise beliben?

Kann mir jemand helfen?
LG, MLRS

PS: War mir nicht sicher, ob ich das unter Algebra oder Analysis posten sollte...

15.07.2012, 21:17

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Findet sich noch jemand, der mir weiterhelfen kann? Erstaunt2

15.07.2012, 22:13

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte die sogenannte Neumannsche Reihe:
Falls eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} \|B\|<1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, dann gilt, dass $\begin{eqnarray*} Id-B \end{eqnarray*}$ invertierbar ist und
$\begin{eqnarray*} B^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}B^k \end{eqnarray*}$ .

Dann nimm dir einen festen Punkt $\begin{eqnarray*} Q\in\text{GL}(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ und betrachte
$\begin{eqnarray*} (Q+H)^{-1}=(Q(Id+Q^{-1}H))^{-1}=(Id+Q^{-1}H)^{-1}Q^{-1}=... \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ eine "kleine" Matrix ist, das heisst $\begin{eqnarray*} \|H\| \end{eqnarray*}$ kannst du so klein wählen wie du willst.

Das liefert dir was du brauchst. Übrigens: Dein Differential in diesem Fall [also das " $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ " aus deiner Definition] ist hier eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \text{GL}(n,\mathbb R)\to\text{GL}(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ , das heisst schreibe das Ding lieber nicht als Matrix Augenzwinkern

16.07.2012, 11:39

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort! smile

Zitat:

Original von system-agent
Beachte die sogenannte Neumannsche Reihe:
Falls eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} \|B\|<1 \end{eqnarray*}$ erfüllt, dann gilt, dass $\begin{eqnarray*} Id-B \end{eqnarray*}$ invertierbar ist und
$\begin{eqnarray*} B^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}B^k \end{eqnarray*}$ .

Es muss
$\begin{eqnarray*} (Id-B)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}B^k \end{eqnarray*}$
heißen, richtig?

Zitat:

Original von system-agent
Dann nimm dir einen festen Punkt $\begin{eqnarray*} Q\in\text{GL}(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ und betrachte
$\begin{eqnarray*} (Q+H)^{-1}=(Q(Id+Q^{-1}H))^{-1}=(Id+Q^{-1}H)^{-1}Q^{-1}=... \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ eine "kleine" Matrix ist, das heisst $\begin{eqnarray*} \|H\| \end{eqnarray*}$ kannst du so klein wählen wie du willst.

Ich erhalte damit (wenn $\begin{eqnarray*} ||H|| \end{eqnarray*}$ klein genug ist)
$\begin{eqnarray*} (Q+H)^{-1}=(Q(Id+Q^{-1}H))^{-1}=(Id+Q^{-1}H)^{-1}Q^{-1}= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left(Id-Q^{-1}H+(Q^{-1}H)^2-...\right)Q^{-1}=Q^{-1}-Q^{-1}HQ^{-1}+(Q^{-1}H)^2Q^{-1}-... \end{eqnarray*}$

und daher ist
$\begin{eqnarray*} f(Q+H)-f(Q)=(Q+H)^{-1}-Q^{-1}=-Q^{-1}HQ^{-1}+(Q^{-1}H)^2Q^{-1}-...=AH+R(H) \end{eqnarray*}$

(Das jetzt weiter umzuformen bringt eigentlich nichts, oder?)
$\begin{eqnarray*} =-Q^{-1}H(Id-Q^{-1}H+(Q^{-1}H)^2-...)Q^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =-Q^{-1}H(Id+Q^{-1}H)^{-1}Q^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also $\begin{eqnarray*} AH=-Q^{-1}HQ^{-1} \end{eqnarray*}$ nehme, dann sollte die Grenzwertbedingung für $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ erfüllt sein.

16.07.2012, 13:38

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MLRS
Es muss
$\begin{eqnarray*} (Id-B)^{-1}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}B^k \end{eqnarray*}$
heißen, richtig?

Ja, genau

Zitat:

Original von MLRS
und daher ist
$\begin{eqnarray*} f(Q+H)-f(Q)=(Q+H)^{-1}-Q^{-1}=-Q^{-1}HQ^{-1}+(Q^{-1}H)^2Q^{-1}-...=AH+R(H) \end{eqnarray*}$

Genau und hier bist du schon fertig. Damit du die Differenzierbarkeit beweist, musst du ja nur eine lineare Abbildung in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ finden und etwas das klein in $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ist, nämlich der Rest $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .

Das heisst also formal:
Schreibe das nochmal ordentlich mit einer Reihe hin, zeige dass die Zuordnung $\begin{eqnarray*} \text{GL}(n,\mathbb R)\to\text{GL}(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ definiert via $\begin{eqnarray*} H\mapsto -Q^{-1}HQ^{-1} \end{eqnarray*}$ linear ist und dass der Rest $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die Grenzwertbedingung wirklich erfüllt.

16.07.2012, 14:27

MLRS

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Das heisst also formal:
Schreibe das nochmal ordentlich mit einer Reihe hin, zeige dass die Zuordnung $\begin{eqnarray*} \text{GL}(n,\mathbb R)\to\text{GL}(n,\mathbb R) \end{eqnarray*}$ definiert via $\begin{eqnarray*} H\mapsto -Q^{-1}HQ^{-1} \end{eqnarray*}$ linear ist und dass der Rest $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ die Grenzwertbedingung wirklich erfüllt.

Ok. Dass das eine lineare Abbildung ist, ist mir klar.

Ich hab dann $\begin{eqnarray*} R=(Q^{-1}H)^2Q^{-1}-(Q^{-1}H)^3Q^{-1}+...= Q^{-1}HQ^{-1}HQ^{-1}\left(Id-HQ^{-1}+(HQ^{-1})^2-...\right)=Q^{-1}HQ^{-1}HQ^{-1}\left(Id+HQ^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

und will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0} \frac{R}{||H||}=0 \end{eqnarray*}$ .

Dafür reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0}\frac{||R||}{||H||}=0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Es gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0}\frac{||R||}{||H||} \le \frac{||H||^2\cdot ||Q^{-1}||^3\cdot ||(Id+HQ^{-1})^{-1}||}{||H||}=||H||\cdot ||Q^{-1}||^3\cdot ||(Id+HQ^{-1})^{-1}|| \end{eqnarray*}$

Ich müsste jetzt nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ||(Id+HQ^{-1})^{-1}|| \end{eqnarray*}$ beschränkt ist.

17.07.2012, 14:54

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MLRS
Ich hab dann $\begin{eqnarray*} R=(Q^{-1}H)^2Q^{-1}-(Q^{-1}H)^3Q^{-1}+...= Q^{-1}HQ^{-1}HQ^{-1}\left(Id-HQ^{-1}+(HQ^{-1})^2-...\right)=Q^{-1}HQ^{-1}HQ^{-1}\left(Id+HQ^{-1}\right)^{-1} \end{eqnarray*}$

Ja, aber wie schon gesagt, schreibe das ordentlich mit einer Reihe auf.
$\begin{eqnarray*} R(H)=\sum\limits_{k=2}^{\infty}? \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MLRS
und will zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0} \frac{R}{||H||}=0 \end{eqnarray*}$ .

Ja.

Zitat:

Original von MLRS
Dafür reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0}\frac{||R||}{||H||}=0 \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, das reicht.

Zitat:

Original von MLRS
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \lim_{H\to 0}\frac{||R||}{||H||} \le \frac{||H||^2\cdot ||Q^{-1}||^3\cdot ||(Id+HQ^{-1})^{-1}||}{||H||}=||H||\cdot ||Q^{-1}||^3\cdot ||(Id+HQ^{-1})^{-1}|| \end{eqnarray*}$

Diese Zeile musst du mir mal haarklein auseinanderpflücken. Zum Einen ist dein Grenzwert auf einmal weg und zum Anderen, woher hast du diesen Zähler?

Definiere lieber $\begin{eqnarray*} R_N(H):=\sum\limits_{k=2}^N? \end{eqnarray*}$ als die Partialsummen von $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ und dann betrachte zunächst $\begin{eqnarray*} \frac{\|R_N(H) \|}{\|H\|} \end{eqnarray*}$ .
Dabei kriegst du zum Beispiel auch eine obere Schranke für $\begin{eqnarray*} \|H\| \end{eqnarray*}$ . Beachte beim abschätzen, dass die Operatornorm $\begin{eqnarray*} \|AB\|\leq\|A\|\cdot\|B\| \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung der Matrix-Inversion

Verwandte Themen