Konvergenz rekursive Reihe

15.07.2012, 23:22

Hans123456

Konvergenz rekursive Reihe

Hi,
ich habe hier eine rekursive Folge die auf Konvergenz untersucht werden soll:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = 0 , a_{n+1} = \frac{1}{a_{n+2}} \end{eqnarray*}$
Nachdem ich ein paar Werte ausgerechnet habe,(a_1 = 1/2; a_2 = 2/5, a_3 = 5/12), kam ich auf die Idee, dass die Folge gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Um dies nachzuweisen, habe ich geschrieben:
Sei Epsilon > 0 beliebig.
Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |a_n - a| = |\frac{1}{a_n + 2} - \frac{1}{2} | \leq 0 < Epsilon \forall n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Könnte mir jemand sagen, ob das so richtig ist?

Danke euch,
Hans

15.07.2012, 23:41

original

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RE: Konvergenz rekursive Reihe

Zitat:

Original von Hans123456

$\begin{eqnarray*} a_{0} = 0 , a_{n+1} = \frac{1}{a_{n+2}} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Nachdem ich ein paar Werte ausgerechnet habe,(a_1 = 1/2; a_2 = 2/5, a_3 = 5/12),
kam ich auf die Idee, dass die Folge gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Big Laugh

->
du meinst vermutlich

$\begin{eqnarray*} a_{0} = 0 , a_{n+1} = \frac{1}{a_{n}+2} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

-> und was würdest du machen, wenn der Grenzwert zB $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} - 1 \end{eqnarray*}$ wäre? verwirrt

15.07.2012, 23:44

Mulder

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RE: Konvergenz rekursive Reihe
Dein Ansatz ist nicht zielführend, wie willst du da denn jetzt weiter machen?

Der Grenzwert der Folge ist außerdem auch nicht 1/2, sondern ungefähr (!) 0,41. Man kann den Wert auch exakt angeben, aber das zu lösen ist dein Job. Augenzwinkern

Vielleicht kannst du ja nachweisen, dass die Folge beschränkt und - ab einem gewissen Index - auch monoton ist. Dann ist sie nämlich in jedem Fall konvergent.

Um den Grenzwert dann zu bestimmen, kannst du dir dann zunutze machen, dass im Grenzfall $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn du das in deine Vorschrift einsetzt, kannst du den Grenzwert berechnen.

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