partielle Ableitung mit Konstante

16.07.2012, 09:42

Horizon77

partielle Ableitung mit Konstante

Hallo,
könnt Ihr mit mit der folgenden (für die meisten vermutlich einfachen) Frage weiterhelfen:

Wenn man eine Funktion x= v1^1/4 * v2^1/2 partiell nach v1 und v2 ableitet, dann
erhält man ja folgende Ableitungen:

x nach v1 = 1/4 v1^-3/4 v2^1/2

x nach v2 = v1^1/4 1/2v2^-1/2

Wenn ich jetzt eine Ausgangsgleichung x = 3 v1^1/4 v2^1/2 habe, wie leite ich dann ab.

meine Überlegungen:

x nach v1 = 3/4 v1^-3/4 v2^1/2

x nach v2 = 3v1^1/4 1/2v2^-1/2

oder lass ich die 3 bei beiden Ableitungen ganz weg?
oder muss ich drei sowohl bei v1 und auch v2 mit berücksichtigen?

Vielen lieben Dank für Eure Hilfe!

16.07.2012, 10:23

lgrizu

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RE: partielle Ableitung mit Konstante
Ich verstehe deine Frage nicht ganz, was bedeutet "sowohl bei v_1 als auch bei v_2 berücksichtigen"?

Deine Ableitungen sind vollkommen richtig.

Wenn du nach v_1 differenzierst dann ist die Konstante $\begin{eqnarray*} 3 \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und wenn du nach v_2 differenzierst hast du die Konstante $\begin{eqnarray*} 3 \cdot v_1^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

16.07.2012, 10:34

Horizon77

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Hallo,
Danke für die schnelle Rückmeldung.

Heißt dann, wenn ich x = 3 v1^1/4 v2^1/2

nach v1 ableite, kommt raus

1/4 v1^-3/4 3 v2^1/2

und wenn ich nach v2 ableite:

1/2v2^-1/2 3 v1^1/4

Danke im voraus!

(sorry, mein Editor funktioniert nicht)

16.07.2012, 10:43

lgrizu

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Bitte benutze Latex (Bzw. wenn dein Editor nicht funzt wenigstens Rechenzeichen und Klammern), du schreibst ohne Rechenzeichen einfach Zahlen hintereinander weg, das ist recht schwer zu interpretieren.

Einmal ausführlich:

Wir haben: $\begin{eqnarray*} x(v_1,v_2)=3 \cdot v_1^{\frac{1}{4}} \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Wir bilden die partiellen Ableitungen, zuerst nach $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ . Die Konstante ist in diesem Fall $\begin{eqnarray*} k=3 \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , wir haben also eine Funktion vorliegen vom Typ $\begin{eqnarray*} y=k \cdot x^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .

Diese leiten wir ab und setzen k wieder ein.

Also noch mal: ist richtig......

16.07.2012, 11:18

Horizon77

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Sorry, habe nicht genau verstanden, worauf sich Dein "ist richtig" bezog...dafür habich jetzt kapiert, wie der Formeleditor funktioniert smile

Also, wenn ich habe

$\begin{eqnarray*} x = 3v1^{0,25} v2^{0,5} \end{eqnarray*}$

und dann nach v1 und v2 ableite, ist es dann

nach $\begin{eqnarray*} v1 = 0,75v1^{-0,25} 3v2^(0,5) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} v2 = 3v1^(0,25] 1,5v2^(-0,5) \end{eqnarray*}$

sprich bei dem, wonach ich ableite multipliziere ich den Expoenenten mit der 3 und beim anderen lasse ich sie einfach stehen

oder

nach $\begin{eqnarray*} v1 = 0,25v1^{-0,75} 3v2^(0,5) \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} v2 = 3v1^(0,25] 0,5v2^(-0,5) \end{eqnarray*}$

sprich, die 3 bleibt nur bei dem stehen, wonach ich nicht ableite, und bei dem wonach ich ableite fällt sie ganz weg?

Danke für Deine Geduld, ich bin echt nicht so die Leuchte, was das angeht... unglücklich

16.07.2012, 11:59

lgrizu

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Das ist ganz schön konfus, was du da schreibst und wirklisch schwer zu lesen.....

Zitat:

sprich bei dem, wonach ich ableite multipliziere ich den Expoenenten mit der 3 und beim anderen lasse ich sie einfach stehen

Das bedeutete ja, dass du die Konstante 3*3=9 hast, das ist natürlich Blödsinn.....

Die 3 taucht in dem Produkt nur einmal auf.

Eine Herangehensweise für die Technik des Differenzierens:

1. Wähle die Variable aus, nach der du Differenzieren möchtest (bzw. alle Summanden, die diese Variable enthalten).

2. Betrachte alles, was diese Variable nicht enthält als Konstante.

3. Differenziere wie du es aus der Schule gewohnt bist.

4. Wir setzen die Konstnte wieder ein.

Wenn man das macht kommen wir auf folgendes:

1. Wir haben nur einen Summanden, dieser enthält $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ , nach der Variable wollen wir Differenzieren.

2. Wir bestimmen in diesem Fall unsere Konstante und nennen sie k, es ist $\begin{eqnarray*} k=3 \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

3. Wir haben nun die Funktion $\begin{eqnarray*} x(v_1)=k \cdot v_1^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ .
Diese ist zu Differenzieren.
Was kommt hier heraus?

4. Setze k wieder ein.

Anmerkung:
Es ist:

$\begin{eqnarray*} x(v_1,v_2)=3 \cdot v_1^{\frac{1}{4}} \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dv_1}=3 \cdot \frac{1}{4} \cdot v_1^{-\frac{3}{4}} \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dv_2}=3 \cdot v_1^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{2} \cdot v_2^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

16.07.2012, 12:17

Horizon77

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jetzt habe ich es zu 90% verstanden, vielen Dank!
Und -falls es Deine Zeit erlaubt- eine Abschlussfrage, damit ich auf 100% Verständnis komme Augenzwinkern

Du schreibst ja unter 2: $\begin{eqnarray*} k=3 \cdot v_2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

ist unsere Konstante...

Was ich noch nicht verstehe: warum gehört die "3" hier zur Konstanten, denn sie steht ja nur bei v1 nicht bei v2? Und Du hast sie ja unten auch nur bei der Ableitung nach v2 bei der Kontanten stehenlassen, wohingegen Du sie bei der Ableitung nach v1 weglässt.

16.07.2012, 12:21

lgrizu

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Zitat:

Original von Horizon77
Was ich noch nicht verstehe: warum gehört die "3" hier zur Konstanten, denn sie steht ja nur bei v1 nicht bei v2? Und Du hast sie ja unten auch nur bei der Ableitung nach v2 bei der Kontanten stehenlassen, wohingegen Du sie bei der Ableitung nach v1 weglässt.

Das verstehe ich wiederum nicht.

Das ganze ist ein Produkt, also Kommutativgesetz, es ist $\begin{eqnarray*} v_1^{\frac{1}{2}} \cdot v_2^{\frac{1}{4}} \cdot 3=3 \cdot v_1^{\frac{1}{2}} \cdot v_2^{\frac{1}{4}}=v_1^{\frac{1}{2}} \cdot 3 \cdot v_2^{\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$

Wo die 3 steht ist ziemlich Schnuppe, wie gesagt, Kommutativgesetz.....

16.07.2012, 12:25

Horizon77

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jetzt hab ichs kapiert!!!! Vielen vielen Dank! Freude

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