Teilmengen voneinander

16.07.2012, 11:09

Naryxus

Teilmengen voneinander

Hallo,

ich bräuchte mal Hilfe: Und zwar waren in einer Aufgabe verschiedene Mengen gegeben. Und man sollte bestimmen, welche Mengen Teilmengen von einer anderen Menge sind.
Erstmal die gegebenen Mengen:
$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C), A\cap (M\setminus B), M\setminus (A\cup B), (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$
M soll wohl dabei die Grundmenge sein.

In der Lösung ist jetzt folgendes vorgegeben:
$\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B)\subseteq A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\setminus (A\cup B)\subseteq (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$

Den letzten Teil habe ich auch so. Den ersten Teil verstehe ich allerdings nicht.
Schaut man sich $\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ an:
Das bedeutet ja eigentlich, dass $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in M\wedge x\notin B \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$ bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$
In beiden Mengen ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . In der zweiten Menge kann auch $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ sein. Dann kommt aber, dass $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ sein müsste. Jetzt ist es aber nur möglich, dass $\begin{eqnarray*} x\in C\vee x\notin C \end{eqnarray*}$ ist. Also hätte ich eigentlich das ganze umgedreht, also: $\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B)\supseteq A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$

Darüberhinaus hätte ich aber noch weitere Möglichkeiten im Gegensatz zur Musterlösung:

$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C)\subseteq (M\setminus A)\cup (M\setminus B), M\setminus (A\cup B)\subseteq (M\setminus A)\cup (M\setminus B), (M\setminus A)\cup (M\setminus B)\subseteq A\cap (M\setminus B), (M\setminus A)\cup (M\setminus B)\subseteq M\setminus (A\cup B) \end{eqnarray*}$

Habe ich da Fehler drin?

Grüße, Naryxus

16.07.2012, 11:51

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmengen voneinander

Zitat:

Original von Naryxus
Das bedeutet ja eigentlich, dass $\begin{eqnarray*} x\in A \wedge x\in M\wedge x\notin B \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$ bedeutet das:
$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$

Bis dahin richtig, danach verstehe ich deine Argumentation nicht mehr:
Es ist doch nach Voraussetzung $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} x\notin B\Rightarrow (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$
Damit gilt auch $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$

Deine Argumentation verstehe ich nicht:

Zitat:

In der zweiten Menge kann auch $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ sein.

Das muss in der ersten Menge auch gelten.

Zitat:

Jetzt ist es aber nur möglich, dass $\begin{eqnarray*} x\in C\vee x\notin C \end{eqnarray*}$ ist.

Diese Gleichung gilt Allgemein für beliebiges $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ (sogar verschärft als exklusives oder). Es ist bei meiner Argumentation oben aber auch absolut egal ob $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$ gilt oder nicht gilt.

16.07.2012, 12:11

Naryxus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmengen voneinander

Zitat:

Deine Argumentation verstehe ich nicht:

Zitat:

In der zweiten Menge kann auch $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ sein.

Damit wollte ich nur sagen, dass die Aussage auch hier noch wahr ist.

Aber würde denn nicht

$\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B)\subseteq A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$ dann nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} C = M \end{eqnarray*}$ gilt, weil ja ansonsten noch Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten sind, die dann durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht mehr abgedeckt werden könnten?

Weil $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ja sozusagen mächtiger ist, hätte ich eben die Relation umgedreht.

16.07.2012, 12:47

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmengen voneinander

Zitat:

Original von Naryxus
$\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B)\subseteq A\setminus (B\cap C) \end{eqnarray*}$ dann nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} C = M \end{eqnarray*}$ gilt, weil ja ansonsten noch Elemente in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthalten sind, die dann durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nicht mehr abgedeckt werden könnten?

Nein, warum? Den Teil nach dem Komma verstehe ich nicht.
Die Schlussfolgerung $\begin{eqnarray*} x\notin B\Rightarrow (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$ gilt, weil rechts ein oder steht, es ist egal ob $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x\not\in C \end{eqnarray*}$ ist.

16.07.2012, 13:35

Naryxus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmengen voneinander
Aaaah stimmt... Es kann ja gar keine Elemente mehr aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ geben, die nicht auch in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ sind... Stimmt... Danke...

Hätte jemand vielleicht auch nochmal Lust die anderen Relationen zu überprüfen?

16.07.2012, 13:38

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Teilmengen voneinander

Zitat:

Original von Naryxus
Hätte jemand vielleicht auch nochmal Lust die anderen Relationen zu überprüfen?

Wenn du mir die Herleitung aufschreibst dann ja.

16.07.2012, 14:11

Naryxus

Auf diesen Beitrag antworten »

Also...

Bei meiner ersten Vermutung, dass das ganze in umgekehrter Reihenfolge geht, ist mir gerade etwas aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C)\subseteq A\cap (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ . Da in der ersten Menge aber noch einige $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ enthalten sein können, kann das keine Teilmenge der zweiten sein, weil dort ja gefordert ist, dass $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ ist.

Ist für die Menge $\begin{eqnarray*} (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ die folgende Annahme richtig: $\begin{eqnarray*} x\in M\wedge (x\notin A\vee x\notin B) \end{eqnarray*}$ ?

16.07.2012, 15:10

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Naryxus
$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C)\subseteq A\cap (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ . Da in der ersten Menge aber noch einige $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ enthalten sein können, kann das keine Teilmenge der zweiten sein, weil dort ja gefordert ist, dass $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ ist.

Im Prinzip ja. Du musst dir ein x aus der rechten Menge wählen, welches aber nicht in der linken Menge liegt. Da ist das ein guter Ansatz.

Zitat:

Original von Naryxus
Ist für die Menge $\begin{eqnarray*} (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ die folgende Annahme richtig: $\begin{eqnarray*} x\in M\wedge (x\notin A\vee x\notin B) \end{eqnarray*}$ ?

Ja, das ist das Distributivgesetz, und weiter?

28.07.2012, 23:11

Naryxus

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

sorry, dass ich so lange nichts von mir habe hören lassen. Hatte ziemlich viel um die Ohren.

Also.
Ich habe jetzt noch die Vermutung, dass
$\begin{eqnarray*} A\setminus (B\cap C)\subseteq (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$ ,
weil ja $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$ sein muss. Bei der anderen Menge muss auf jeden Fall $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ sein. Darüber hinaus kann $\begin{eqnarray*} x\notin A\vee x\notin B \end{eqnarray*}$ sein. Da in beiden Fällen $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ sein kann. Ist ja auf jeden Fall die Aussage wahr. Und deshalb müsste das doch auch die Teilmenge davon sein.

Die gleiche Argumentation würde ich bei der folgenden Aussage verwenden:
$\begin{eqnarray*} A\cap (M\setminus B)\subseteq (M\setminus A)\cup (M\setminus B) \end{eqnarray*}$
Da folgendes gelten muss: $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\in M\wedge x\notin B \end{eqnarray*}$
Und folgendes gilt auch auf der rechten Seite: $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ Und wieder kann gelten $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ wodurch dann wieder die Aussage wahr wird.

Wäre toll, wenn du das nochmal überprüfen könntest.

Gruß, Naryxus

Neue Frage »

Antworten »

Teilmengen voneinander

Verwandte Themen