3. Eckpunkt im Dreieck gesucht (3D) |
16.07.2012, 13:24 | Netztroll | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
3. Eckpunkt im Dreieck gesucht (3D) Hallo zusammen, ich habe ein Dreieck, bei dem die Koordinaten zweier Punkte \vec{B} und \vec{C} und die Längen der Strecken \overline{AB}, \overline{BC} und \overline{AC} bekannt sind. Außerdem kenne ich den Winkel CAB, also den Winkel im unbekannten Eckpunkt. Ich bräuchte nun die Koordinaten des Punktes \vec{A}. Das ganze spielt sich im \mathbb R^3 ab. Meine Ideen: Für \mathbb R^2 wäre das Ganze nicht sonderlich kompliziert, aber mir macht die dritte Komponente zu schaffen. Über die bekannte Länge der Strecken \overbar{AB} und \overbar{AC} hätte ich schon mal 2 Gleichungen für 3 Unbekante: \Vert \vec{A}-\vec{B} \Vert = l_1 \Vert \vec{A}-\vec{C} \Vert = l_2 Ich habe dann versucht, über den Winkel CAB eine dritte Bedingung zu erhalten: \cos(\alpha) = \frac{(\vec{A}-\vec{B})\cdot(\vec{A}-\vec{C})}{\Vert \vec{A}-\vec{B} \Vert \cdot \Vert \vec{A}-\vec{C} \Vert} Allerdings kommt dabei keine eindeutige Lösung raus. Ist eine der Annahmen falsch bzw. nicht für den dreidimensionalen Fall gültig? Es wäre auch möglich, dass die beiden Längen \overline{AC} und \overline{AB} nicht genau zum Winkel \alpha passen, da alle Koordinaten über optische Marker während einer Bewegungsanalyse aufgenommen werden und somit in gewissem Maße fehlerbehaftet sind. |
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16.07.2012, 15:08 | cst | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: 3. Eckpunkt im Dreieck gesucht (3D) Willkommen im Matheboard , du hast alle Seitenlängen des Dreiecks gegeben, daraus kannst du per Kosinussatz alle Innenwinkel berechnen. Da du einen Innenwinkel aber schon extra gegeben hast, ist das Problem bezüglich der Seitenlängen und Innenwinkel überbestimmt. Weil deine Werte messfehlerbehaftet sind, ergibt sich daher höchstwahrscheinlich ein Widerspruch wie von dir vermutet. Bezüglich der tatsächlichen Koordinaten ist das Problem allerdings unterbestimmt, d.h. du kannst gar keine eindeutige Lösung bekommen. Denn: Du kannst ein Dreieck, das alle Bedingungen erfüllt, um die Achse drehen und alle gegebenen Bedingungen bleiben erfüllt. D.h. alle möglichen Punkte liegen auf dem Kreis, den Punkt bei dieser Drehung vollführt, nämlich dem Schnittkreis zweier Kugeln: eine Kugel mit Radius um Punkt , eine kugel mit Radius um Punkt . (Hoffe, das wird so klar, sonst mal ich noch ne Skizze.) In 2D wären es übrigens Kreise statt Kugeln und es gäbe nur 2 mögliche Punkte A, nämlich die beiden Schnittpunkte der Kreise. lg cst P.S.: Du musst LaTeX-Code in die tags
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16.07.2012, 15:16 | Netztroll | Auf diesen Beitrag antworten » | |||||
RE: 3. Eckpunkt im Dreieck gesucht (3D) Hmm...klar, stimmt. Da hab ich wohl ziemlich auf der Leitung gestanden. Dann ist die einfachste Lösung wahrscheinlich, den Messaufbau so anzupassen, dass immer alle Marker sichtbar sind. Ich hatte gehofft, ich käme heute noch ohne neue Messung aus. Vielen Dank |
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