Partialbruchzerlung ( müsste leicht sein )

30.01.2007, 23:56

iyvonne_83

Partialbruchzerlung ( müsste leicht sein )

zu später stunde ich nochmal :-(

aaaaaaaaaaalso:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+3)(x-1)}=\frac{a}{x+3} + \frac{b}{x-1}= A(x-1)+B(x+3)= Ax-A+Bx+3B= x(A+B) + (-A+3B) \end{eqnarray*}$

Nun komm ich beim Koeffizientenvergleich einfach nichrt weiter:
ich glaube mich zu erinnern das A+B = 1
und
-A+3B=0 ist

ABER, warum ist das so, kann mir das jemand so erklären dass ich es versteh ?
Woher weiss ich was ich = 1 und 0 setze, weil ich meine dass es beispiele gibt, wo man sag: A+B = 0 ( glaube bei Folgen, zb $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n(n+1)} \end{eqnarray*}$

edit: latex verbessert!

30.01.2007, 23:56

iyvonne_83

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ach krieg die schreibweise net anders hin, rtut mir leid traurig

31.01.2007, 00:11

derkoch

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$\begin{eqnarray*} x= 1\cdot x^1+0 \cdot x^0 \end{eqnarray*}$

reicht das? smile

31.01.2007, 00:40

therisen

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Ich frage mich, warum so viele einen Koeffizientenvergleich nötig haben. In diesem Fall ist er absolut unnötig!

Definiere $\begin{eqnarray*} g(x) := \frac{x}{x+3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) := \frac{x}{x-1} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt $\begin{eqnarray*} A = h(-3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = g(1) \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

31.01.2007, 10:20

iyvonne_83

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huhu, danke für die antworten. mein problem ist, dass ich rein gar nichts anderes kenne als den koeffizentenvergleich, demnach sagt mir der ansatz von therisen nicht viel smile

Als antworten, so weiss ich nun, kommt A & B = 1/4 raus.
derkoch, wie kommt man denn an deine formel, daraus wärs ja ersichtlich für mich?
Auweia bin ich schlecht vorbereitet für samstag Hilfe

31.01.2007, 12:40

iyvonne_83

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$\begin{eqnarray*} A+B=1 & -A+3B=0 => A+B=1 & 4B=1 <=>B=\frac{1}{4} => A+\frac{1}{4}=1 => A=\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

so hab ich die rechnung zu ende geführt, was mit den anmgegebenen ergebnissen auch passen würde, aber ich weiss wie gesagt echt nicht wie man
A+B=1 und -A+3B=0 herleitet, bzw wie man an die formel von thekoch kommt. Buschmann

31.01.2007, 12:57

derkoch

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RE: Partialbruchzerlung ( müsste leicht sein )
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+3)(x-1)}=\frac{x(A+B)+(-A+3B)}{(x+3)(x-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot x^1+0 \cdot x^0}{(x+3)(x-1)}=\frac{(A+B)\cdot x^1+(-A+3B)\cdot x^0}{(x+3)(x-1)} \end{eqnarray*}$

jetzt solltest du es aber sehen!

31.01.2007, 12:58

klarsoweit

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RE: Partialbruchzerlung ( müsste leicht sein )

Zitat:

Original von iyvonne_83
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x-1}= A(x-1)+B(x+3) \end{eqnarray*}$

Dieser Teil in deiner Partialbruchzerlegung halte ich für sinnlos. Entweder haben wir die Koeffizienten a und b oder A und B. Aber nicht alles zusammen. Also der Ansatz sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+3)(x-1)}=\frac{a}{x+3} + \frac{b}{x-1} = \frac{a(x-1)+b(x+3)}{(x+3)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt multipliziere den Zähler aus und überlege, wann 2 Polynome gleich sind.

31.01.2007, 13:01

Bjoern1982

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Hallo

Also durch deine korrekte Partialbruchzerlegung gilt ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{(x+3)(x-1)}=\frac{(A+B)x+(-A+3B)}{(x+3)(x-1)} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du dich eben fragen wann diese beiden Bruchterme auf der linken und rechten Seite der Gleichung auch wirklich gleich sind.
Die Nenner sind ja eh gleich, deshalb muss man Bedingungen finden, so dass die Zähler auch gleich werden.

Da der Vorfaktor vor dem x im linken Bruchterm eine 1 ist, muss auch der Vorfaktor rechts zu 1 werden ----> deshalb A+B=1

Danach kommt im linken Bruchterm nichts mehr, es steht also quasi ein (unsichtbares) plus null daneben. Deshalb muss auch der "Rest" im rechten Bruchterm null werden, damit beide Brüche gleich sind ----> -A+3B=0

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß Björn

31.01.2007, 13:04

iyvonne_83

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juhu, jetzt hab ich es gerallt :-)
vielen dank euch allen

31.01.2007, 13:22

strunzeL

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Jippii, ich saß grad an der selben Aufgabe, für die selbe Klausur Big Laugh

Hat mir ne Menge Schreibarbeit erspart *g*

Wenn man doch nur nicht so faul wäre und immer alles erst auf den letzten Drücker wiederholen würde.

Thx für die Antworten Wink

Dieses Board hier ist echt super Big Laugh

31.01.2007, 13:50

iyvonne_83

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schreibst du auch diff int ? Wink

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Partialbruchzerlung ( müsste leicht sein )

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