Parametrisierung und Integration? |
| 16.07.2012, 15:51 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Parametrisierung und Integration? ich habe eine Frage bezüglich Linienintegralen. Ich möchte folgende Darstellung parametrisieren, [attach]25303[/attach] Ich habe für die Parametrisierung nun folgendes erhalten, Wenn ich nun den Flächeninhalt haben möchte, müsste ich doch berechnen. Aber wie macht man das denn nun, was ist in der Parametrisierten Form mein und was mein ? 
Die Integrationsgrenzen müssten dann sein oder? Vielen Dank, hangman! 
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| 16.07.2012, 18:53 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Parametrisierung und Integration? Teil das Kurvenintegral einfach in vier Kurvenintegrale auf, wobei du bei jedem Integral dann entlang einer Seite des Rechtecks (bzw. es ist ja sogar ein Quadrat, laut deiner Zeichnung) integrierst. Dann einfach die Summe bilden (jeweils auf die Richtung achten). Das lässt sich dann auch supereinfach parametrisieren. Was das jetzt mit Flächeninhalten zu tun haben soll, ist mir allerdings nicht so ganz klar.
Und ab in die Hochschulanalysis damit. |
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| 16.07.2012, 19:10 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Parametrisierung und Integration?
Oh man, das man es sich so leicht machen kann da hätte ich auch selbst drauf kommen können... 
Ich dachte ich kann mir mit Linienintegralen so gesehen einen beliebigen Weg oder Kurve basteln, und dann entlang der Kurve integrieren. Wenn mir das nicht den Flächeninhalt angibt, was denn dann?
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| 16.07.2012, 19:28 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Parametrisierung und Integration?
Ja, ist ja auch so.
Welche Fläche denn? Die des Quadrats, oder wie? Du integrierst hier doch über das Feld F(x,y)=x*y, wenn ich das richtig sehe. Hast du das jetzt selber beliebig gewählt, oder wie? Je nachdem, über welches Feld man integriert, kann sich das Ergebnis doch ändern? Das Kurvenintegral erster Art dient hauptsächlich der Berechnung von Längen von Kurven. Allerdings muss man dann über die 1 integrieren, du hast jetzt ein nichtkonstantes Feld f=x*y. Dann sieht es etwas anders aus. Dann könnte man es als die Fläche interpretieren, die zwischen der Funktion f und der Kurve, über die du integrierst, liegt. |
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| 16.07.2012, 19:42 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Parametrisierung und Integration? Ich habe gewählt weil ich mir dachte "Länge" mal "Breite" muss ja den Flächeninhalt angeben. Dazu habe ich mir dann noch die parametrisierte Form gebastelt.
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| 16.07.2012, 19:46 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Parametrisierung und Integration?
Nein! Das hat damit nichts zu tun. Mein Edit hat sich jetzt wohl mit deinem Beitrag überschnitten. Für die Fläche des Quadrats müsstest du das Bereichsintegral betrachten, wobei D dein Quadrat ist. Das hat aber nun nichts mit Linienintegralen zu tun. |
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| 16.07.2012, 19:51 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Parametrisierung und Integration?
Okay, also ist das Linienintegral in der mehrdimensionalen Analysis das selbe wie in der Analysis mit einer Variable Das gibt ja auch die Länge einer Kurve an...
Ich kann mir irgendwie sonst nichts unter dem Linienintegral vorstellen... 
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| 16.07.2012, 19:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Parametrisierung und Integration?
Die Länge eines Funktionsgraphen! Allgemein ist eine Kurve im R² ja von der Gestalt (in parametrisierter Form): Wenn ist, dann hat man eine Funktion, so wie du sie aus der Schule kennst. Aber ein Kreis beispielsweise lässt sich nicht auf diese Art und Weise darstellen, weil ein Kreis kein Funktionsgraph ist. Ist der Unterschied klar? Deine Formel ist also nur ein Spezialfall, hier ist die Ableitung der x-Komponente ja gerade 1, daher steht unter der Wurzel dann 1+ (f'(x))². |
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| 16.07.2012, 20:04 | Bernhard1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stell Dir ein Linienintegral einfach als Verallgemeinerung des bekannten Riemann-Integrals mit einer Veränderlichen vor. Die Verallgemeinerung besteht darin, dass der Weg nicht entlang der x-Achse laufen muss, sondern eine beliebige Kurve im Raum sein kann. |
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| 16.07.2012, 20:06 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Schonmal Danke für eure Antworten.
Das Riemann Integral gibt aber doch den Flächeninhalt unter einer Kurve an. Ich dachte das würde das Linienintegral ebend nicht tun! ...
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| 16.07.2012, 21:21 | Terry Lyndon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du das Linienintegral fertig zum integrieren vor dir hast, dann hast du ein Riemannintegral vor dir und zwar nichts weiteres als das Integral eine Funktion die von einer Variablen abhängt. Du berechnest also auch beim Linienintegral den Flächeninhalt unter dem Graphen. Dieser Graph ist allerdings dann nicht in der Ebene/in dem Raum die/den du mit deiner Kurve durchläufst zu finden, sondern ist das Skalarprodukt des Geschwindigkeitsvektors mit dem Vektor des Feldes im entsprechenden Punkt der Bahn und das Skalarprodukt ist einen ein Skalar, allerdings wegen der Parametrisierung eine Funktion, die du dann einfach integrierst. Als Graph kannst du dann den Wert des Skalarproduktes sehen. Nur durch Text ist das sicher sehr schwer zu verstehen, ich schlage vor du googlest mal nach einer schönen Anschauung, vorallem weil du wohl auch einer etwas falsche Vorstellung davon hast. |
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| 16.07.2012, 21:38 | Cheftheoretiker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank, es gibt noch viel zu lernen. 
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