Restglied einer Taylorreihe

16.07.2012, 16:16

Andy667

Restglied einer Taylorreihe

Hi,

ich hänge an einer Aufgabe zu Taylorreihen.

1. Entwickeln sie F(x) = cosh x, mit x0 = 0 und im Intervall [-1,1]

Ergebnis: f(x) = 1+ x²/2 + x^4/4! + x^6/6!+ ...

2. Der absolute Fehler der Abschätzung soll 0,01 betragen, welchen Grad muss das Taylorpolynom mindestens haben damit dieser Wert garantiert werden kann?

Meine Idee: das hängt sicher irgendwie mit dem Restglied zusammen
also $\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1} (\beta)*(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ setzt ich eine Zahl aus dem Intervall ein und a=0. Und dass dann < 0,01. Aber wie bekomme ich jetzt raus wievielten Grad mein Taylorpolynom sein muss?

vg und danke
Andy

16.07.2012, 16:41

Zizou66

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Du musst dein für die $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ te Ableitung einsetzen, das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ so abschätzen, dass der Ausdruck möglichst groß wird. Dann guckst du für welches n deine Abschätzung passt.

16.07.2012, 17:04

Andy667

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für die n+1 te Ableitung kann ja nur sinh oder cosh kommen.

cosh wird in dem Intervall bei +1 am größten
sinh wird auch bei +1 am größten
also wähle ich mein $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ = 1

Die Funktion kann ich abschätzen: cosh durch 1 und sinh durch 0 -> mein n+1te Ableitung sollte Also einen cosh wieder ergeben.
also komm ich auf sowas:
$\begin{eqnarray*} \frac{cosh (1) * 1 ^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$
1 hoch irgendwas ist ja immer 1, also kann ich das ignorieren: jetzt muss ich noch schauen wie groß n werden soll damit die Formel oben kleiner gleich die 0,01 wird?

Edit: ich komme jetzt auf ein n von größer als 14,43, bin mir aber nicht sicher

16.07.2012, 17:23

Zizou66

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Zitat:

Die Funktion kann ich abschätzen: cosh durch 1 und sinh durch 0 -> mein n+1te Ableitung sollte Also einen cosh wieder ergeben.

Diesen Teil verstehe ich nicht.

Zitat:

Edit: ich komme jetzt auf ein n von größer als 14,43, bin mir aber nicht sicher

Das ist ziemlich sicher falsch. Hast du nicht die Fakultät vergessen?

16.07.2012, 19:07

Andy667

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ok... also nochmal schritt für schritt:

ich hab folgende Formel für das Restglied:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1} (\beta) (x-0)^{n+1} }{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

jetzt brauch ich ein $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ damit der Ausdruck möglichst groß wird.

cosh bzw sinh wird groß bei großen positiven werten, also nehm ich die 1 aus meinem Interval für x.
für $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ muss ich einen Wert zwischen 0 und x=1 nehmen, damit der Ausdruck groß wird nehm ich wieder eine 1.

die Formal sieht dann so aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{f^{n+1} (1) (1)^{n+1} }{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} f^{n+1}(1) \end{eqnarray*}$ entweder cosh 1 oder sinh 1 ist.

- 1 hoch (n+1) ist immer 1, egal welches n ich hab, kann ich also weglassen
- n+1te Ableitung ist entweder cosh oder sinh von 1, wobei cosh 1 > sinh 1, also sollte ich cosh 1 bekommen
was mich zu dieser Formel bringt
$\begin{eqnarray*} \frac{cosh (1) (1)}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

diese soll nun kleiner als 0,01, also
$\begin{eqnarray*} \frac{cosh (1)* (1)} {(n+1)!} \leq 0,01 \end{eqnarray*}$

was mach ich jetzt mit der Fakultät?

Edit: durch probieren komm ich jetzt auf
$\begin{eqnarray*} \frac{cosh (1)} {(6+1)!} = 0,00214305 \leq 0,01 \end{eqnarray*}$

16.07.2012, 19:39

Zizou66

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Jetzt habe ich deine Argumentation verstanden. Meiner Meinung nach ist das so richtig.

Um am Ende das n zu bestimmen, ist ausprobieren eine gute Methode. Ich würde das dann so schreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\cosh(1)}{(n+1)!}<\frac{2}{(n+1)!}\leq \frac{1}{100}=0,01 \end{eqnarray*}$

Nun sieht man, dass:

$\begin{eqnarray*} n=4: \frac{2}{5!}=\frac{1}{60}>\frac{1}{100} \end{eqnarray*}$

n=5: ...

Welches n kommt also raus?

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