Lineare Unabhängigkeit von Funktionen im F(R,R)

16.07.2012, 17:30	Knutn	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Funktionen im F(R,R) Hallo ich habe eine frage zu eine Musterlösung. Die aufgabe ist Sind die Funktionen $\begin{eqnarray} f_1, f_2 \end{eqnarray}$ in V={Vektoraum der Funktionen von R nach R} linear unabhängig? $\begin{eqnarray} f_2=x , f_3=e^x \end{eqnarray}$ Lösung: Sei $\begin{eqnarray} \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ , dann gilt für alle $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha_1e^x+\alpha_2x=0 \end{eqnarray}$ Setzt man nun für x die speziellen Werte 1 und 0 ein, so erhält man das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \alpha_1e+\alpha_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_1+\alpha_20=0 \end{eqnarray}$ Woraus folgt, dass $\begin{eqnarray} \alpha_1, \alpha_2 =0 \end{eqnarray}$ und damit die lineare Unabhängigkeit. Ich versteh absolut nicht warum man es nur mit dein "speziellen Werten" zeigen muss. Ich könnte doch auch $\begin{eqnarray} \alpha_1=1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} alpha_2=-e \end{eqnarray}$ setzen und x=1 Dann würde gelten, $\begin{eqnarray} 1e^1-e1=e-e=0 \end{eqnarray*}$ Wo ist mein Denkfehler?
16.07.2012, 18:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Lösung wird gezeigt, dass die beiden Funktionen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ im reellen Vektorraum der Funktionen von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind. Du zeigst nur, dass e-e=0 ist. Das weiß man schon länger.
16.07.2012, 18:39	Knutn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Elvis Danke für deine Antwort Ich glaube ich meine Frage Falsch formuliert Mein Unteres Beispiel sollte kein Beweisversuch sein. Ich wollte einfach nur so vorgehen, wie ich die Lösung (nach meinem recht beschränktem Verständnis) verstanden habe, nur eben mit meinen "speziellen Wert" x=1. Ich verstehe nicht warum man einfach diese "speziellen Werte" nehmen kann. Es muss doch gezeigt werden, dass keiner das vielfache des anderen ist. Wieso reicht es da 1 und 0 zu betrachten? ps Wir haben den Raum F(R,R) in der Vorlesung und Übungen nicht betrachtet und ich brauche es deswegen wahrscheinlich auch nicht. Nur ich interessiere mich dafür und werde ich das Gefühl nicht los, dass dort ein gewaltiges Verständnisproblem bei mir besteht.
17.07.2012, 18:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vektorraum um den es geht ist der Raum der Funktionen $\begin{eqnarray} V=\{f\|f: \mathbb R\to \mathbb R, x\to f(x)\} \end{eqnarray}$ mit der punktweisen Addition und punktweisen skalaren Multiplikation mit reellen Skalaren. $\begin{eqnarray} f_1:\mathbb R \to \mathbb R, x\to f_1(x)=x,f_2:\mathbb R\to \mathbb R, x\to f_2(x)=e^x \end{eqnarray}$ sind 2 Elemente (also Vektoren) aus $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ . Diese beiden Vektoren sind linear unabhängig genau dann wenn gilt : $\begin{eqnarray} \alpha_1f_1+\alpha_2f_2=0\Rightarrow \alpha_1=\alpha_2=0 \end{eqnarray}$ . Durch geeignete Wahl zweier Stellen $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ , z.B. 0 und 1 , kann man genau dies zeigen. Irgend 2 andere Stellen $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ würden das genau so gut beweisen. Demgegenüber ist eine Stelle nicht genug, wie das Besipiel x=1 zeigt, denn es ist $\begin{eqnarray} f_1(1)=1, f_2(1)=e^1=e=e\cdot 1=e\cdot f_1(1) \end{eqnarray}$ . Weil ein Punkt für den Beweis nicht genügt, 2 Punkte für den Beweis genügen, nimmt man 2 Punkte. Bei Beweisen für lineare Unabhängigkeit darf man die Koeffizienten $\begin{eqnarray} \alpha_n \end{eqnarray}$ nicht speziell wählen, denn die Aussagen müssen für alle Koeffizienten gelten.
17.07.2012, 22:23	Knutn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Vielen Dank für Deine mühe. Ich glaube, ich habe es jetzt verstanden. Ich habe mir fälschlicherweise die Funktionen vorgestellt und nicht den Vektorraum der Funktionen. Und habe es auch kapiert, warum zwei Werte. Vielen Dank nochmal
18.07.2012, 18:12	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend hast du dir die Funktionen nur an einer Stelle x vorgestellt. Das ist immer linear abhängig, denn für zwei von 0 verschiedene Funktionswerte $\begin{eqnarray} f(x),g(x) \end{eqnarray}$ gilt stets $\begin{eqnarray} f(x)=\frac {f(x)}{g(x)} g(x)\Rightarrow 1\cdot f(x)-\frac {f(x)}{g(x)}\cdot g(x)=0 \end{eqnarray}$ . Ausserdem ist das trivial, weil im eindimensionalen Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^1 \end{eqnarray}$ je zwei Vektoren linear abhängig sind.
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