Probleme beim Lösen einer gebrochenen Gleichung

16.07.2012, 17:32

moclus

Probleme beim Lösen einer gebrochenen Gleichung

Hallo

Ich frage mich schon die ganze Zeit wie man diese Aufgabe gut und in (angemessener Zeit) lösen kann ...

$\begin{eqnarray*} -150000 + \frac{20000}{(1+x)} + \frac{30000}{(1+x)²} + \frac{40000}{(1+x)³} + \frac{50000}{(1+x)^4} +\frac{60000}{(1+x)^5} -\frac{20000}{(1+x)^6} = 0 \end{eqnarray*}$

in der Aufgabe stand etwas von "Iteration" leider hab ich damit noch nie was zu tun gehabt ...
wie könnte man die Aufgabe hier etwas vereinfachen? Ich hatte darüber nach gedacht die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1+x)^n} \end{eqnarray*}$ als Summe zusammenzufassen und auszuklammern, doch ich glaub das würde doch garnicht klappen da auf dem Zähler immer ein anderer Wert steht oder?

Wie könnte ich hier am besten vorankommen?

Danke im voraus smile

16.07.2012, 18:20

Elvis

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Ich würde die Gleichung erst einmal durch 10000 teilen, dann fallen die großen Zahlen weg. Anschließend mit $\begin{eqnarray*} (1+x)^6 \end{eqnarray*}$ multiplizieren, dann fallen die Nenner weg ... Und dann fangen die Probleme an ... Potenzen von 1+x berechnen (das sind Binome) ... Und dann eine Gleichung 6. Grades lösen (nicht so einfach).

Wofram alpha zeigt, dass die Lösung nicht so ganz simpel ist : http://www.wolframalpha.com/input/?i=- 1...%2Bx%29%5E6%3D0

16.07.2012, 18:25

moclus

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sollte ich das dann vllt mit newton verfahren versuchen?
weil ich glaube ... da wäre dann in der Klausur schon eine halbe Stunde rum Big Laugh

$\begin{eqnarray*} -15q^6+2q^5+3q^4+4q^3+5q^2+6q = 0 \end{eqnarray*}$

kann ich das jetzt direkt ableiten und dann die gegebenen Annäherungsstellen in
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n} )}{f'(x_{n} )} \end{eqnarray*}$
einsetzen?

danke im voraus smile

edit: habe q = x+1 gesetzt

16.07.2012, 20:14

Dopap

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RE: Probleme beim Lösen einer gebrochenen Gleichung
ich geh mal von Folgendem aus:

$\begin{eqnarray*} f_1(x):= -15 + \frac{2}{(1+x)} + \frac{3}{(1+x)²} + \frac{4}{(1+x)³} + \frac{5}{(1+x)^4} +\frac{6}{(1+x)^5} -\frac{2}{(1+x)^6} = 0 \end{eqnarray*}$

für x=0 steht per Hand gesichtet $\begin{eqnarray*} f_1(0)=3 \end{eqnarray*}$ , das ist gar nicht so schlecht. $\begin{eqnarray*} f_1(0.1)\approx -1.7 \end{eqnarray*}$

Jetzt hätten wir schon eine Lösung intervallmässig "dingfest" gemacht. Mit regula falsi die Nullstelle der Sekante bestimmen... keinen Newton w.g. Ableitungen.

Es kommt aber ganz auf die Hilfsmittel an. Was steht zur Verfügung?

16.07.2012, 20:32

thk

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hmmm noch ein anderer Vorschlag:

Mit gemeinsamem Hauptnenner kommt man auf

$\begin{eqnarray*} 0=-15(1+x)^6+2(1+x)^5+3(1+x)^4+4(1+x)^3+5(1+x)^2+6(1+x)-2 \end{eqnarray*}$

Mit z:=1+x ist $\begin{eqnarray*} f(z)=-15z^6+2z^5+3z^4+4z^3+5z^2+6z-2 \end{eqnarray*}$

und liefert die Lösungen x=z-1

Allerdings ist die Glg. 6. Grades auch nicht gerade ein Luxusobjekt...

LG

16.07.2012, 20:49

Dopap

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Zitat:

Original von thk
...
$\begin{eqnarray*} 0=\color {red} {f_2(x)} \color {black} =-15(1+x)^6+2(1+x)^5+3(1+x)^4+4(1+x)^3+5(1+x)^2+6(1+x)-2 \end{eqnarray*}$
....

auch hier sieht man gut, dass $\begin{eqnarray*} f_2(0)=3 \end{eqnarray*}$ , und "ebenso" als Startwert geeignet ist.
Man kann bei dieser Schreibweise z.b. die Binome leicht linearisieren z.B.

$\begin{eqnarray*} (1+x)^6\approx 1+6x \end{eqnarray*}$

und die Funktionswerte "leicht" berechnen. --->regula falsi

Aber auch vorige Ableitung samt Linearisierung ist möglich ----> Newton.

16.07.2012, 21:02

thk

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... und für die zweite (reelle) Lösung bleibt wohl dann wirklich nur Newton, wenn nicht noch jemand einen Trick für eine algebraische Lösung findet.

16.07.2012, 21:46

Dopap

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ob das eine Schulklausur ist.? Ganz ohne weitere Angaben? , wie z.B.

bestimmen sie die betragsmässig kleinste Nullstellen auf 3 gültige Ziffern

aber mal sehen, was moclus noch weiss...

17.07.2012, 09:01

moclus

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Hallo Leute,

danke für die vielen Antworten! Es handelt sich hier um eine Hochschulklausur im Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen, Fach: Investition und Finanzierung, das sind Abzinsungen (falls es jemanden interessiert warum die Aufgabe so merkwürdig aussieht).

Ich hab das jetzt gestern auch noch vereinfacht (wie oben) und habe dann das Newton Verfahren angewendet ... musste mir das nochmal anschauen weil ich mit dem Verfahren nicht so vertraut war ... und bin dann auf $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0,0588 \end{eqnarray*}$ gekommen ... noch weiter müsste man jetzt aus ökonomischen Gründen hier nicht mehr die Stellen bestimmen da auf 2 Stellen nach dem Komma aufgerundet wird (das soll ein Zinssatz darstellen der dann mit 100 multipliziert wird).

Also wie genau würdet ihr bei so einer Aufgabe vorgehen .. ? Zu erst ein Intervall bestimmen ab dem man untersucht wie man sich der Nullstelle annähern kann? Mit komplexen Zahlen haben wir uns leider noch nicht beschäftigt! Ich habe nämlich sehr lange gebraucht um die Aufgabe zu lösen unglücklich

danke im voraus smile

17.07.2012, 20:46

Dopap

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RE: Probleme beim Lösen einer gebrochenen Gleichung

Zitat:

Original von Dopap

für x=0 steht per Hand gesichtet $\begin{eqnarray*} f_1(0)=3 \end{eqnarray*}$ , das ist gar nicht so schlecht. $\begin{eqnarray*} f_1(0.1)\approx -1.7 \end{eqnarray*}$ EDIT: einfach mal ausprobiert.

Jetzt hätten wir schon eine Lösung intervallmässig "dingfest" gemacht. Mit regula falsi die Nullstelle der Sekante bestimmen...

was $\begin{eqnarray*} x_1=0.064 \end{eqnarray*}$ liefert

so hätte ich begonnen.
Dann der Umstieg auf $\begin{eqnarray*} f_2(x) \end{eqnarray*}$ um nochmals zu iterieren.

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