f total diffbar

16.07.2012, 20:59

Shaco77

f total diffbar

Hi!
Die Frage ist, ob $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^{2}\to\mathbb R \left(x_{1}, x_{2} \right) \to \sqrt{x_{1}^{2} +x_{2}^{2} } \end{eqnarray*}$ total diffbar ist. Für x ungleich 0 habe ich "die partiellen Ableitungen sind stetig in x -> f total diffbar in x" benutzt.
Wie zeige/widerlege ich jetzt totale Differenzierbarkeit in 0,0 ? Wir haben einen Satz "f total diffbar in x -> dann existiert jede Richtungsableitung un es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{e} (x)=gradf(x)\cdot e \end{eqnarray*}$ .
Die Richtungsableitungen in (0,0) sind bei mir immer 1 und $\begin{eqnarray*} gradf(\left(0,0\right) )=\left(1 \ 1 \right) \end{eqnarray*}$ .
Wenn f also total diffbar in (0,0) wäre, müsste immer $\begin{eqnarray*} 1=\left(1 \ 1 \right) \cdot e = e_{1} +e_{2} \end{eqnarray*}$ für alle e mit $\begin{eqnarray*} ||e||_{2}=1 \end{eqnarray*}$ gelten, doch das geht nicht. Stimmt das so? Ehrlich gesagt hätte ich geschätzt, dass f total diffferenzierbar in (0,0) ist :P
Wäre nett, wenn jemand was dazu sagen könnte.

17.07.2012, 03:56

AndyBrandi

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: f total diffbar

Zitat:

Die Richtungsableitungen in (0,0) sind bei mir immer 1 und $\begin{eqnarray*} gradf(\left(0,0\right) )=\left(1 \ 1 \right) \end{eqnarray*}$ .

Sicher? Versuch doch mal zu erklären, wie du darauf kommst. smile

Zitat:

Ehrlich gesagt hätte ich geschätzt, dass f total diffferenzierbar in (0,0) ist :P

Da $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{x_1^2 + x_2^2} = ||(x_1,x_2)||_2 \end{eqnarray*}$ gerade die euklidische Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist, kann man ganz gut "schätzen", dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nicht differenzierbar ist, wenn man bedenkt, dass die entsprechende Norm auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Betragsfunktion ist - die ist nämlich im Punkt 0 auch nicht differenzierbar. Augenzwinkern

17.07.2012, 08:56

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie AndyBrandi schon sagte, ist anschaulich klar, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ nicht diff'bar sein kann, denn in Zylinderkoordinaten $\begin{eqnarray*} x=r \cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=r\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ lautet diese Funktion $\begin{eqnarray*} z=r \end{eqnarray*}$ (wobei r den Radius innerhalb der xy-Ebene bezeichnet). Diese Funktion beschreibt einen Kegel mit dem Öffnungswinkel 90°, der im Nullpunkt (0|0|0) auf der "Spitze steht". Dieser Kegel entsteht bei Rotation der Geraden z=x um die z-Achse. Offenbar hat die Kegelfunktion z=r an der Spitze einen "Knick" und ist somit nicht diff'bar - ähnlich wie die Betragsfunktion $\begin{eqnarray*} y=|x| \end{eqnarray*}$ im Eindimensionalen.

Um die Nichtdiff'barkeit von $\begin{eqnarray*} z=r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ formal zu beweisen, berechne formal die partielle Ableitung nach x oder y und zeige, dass diese bei (0|0) nicht existiert.

17.07.2012, 10:16

Shaco77

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Ok, also für die Richtungsableitung habe ich:
Für $\begin{eqnarray*} e \in \mathbb R^{2} ||e||_{2}=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta e}\left(0,0\right)=\lim_{t \to 0} \frac{f(0+te)-f(0)}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{\sqrt{t^{2}e_{1}^{2}+t^{2}e_{2}^{2}} }{t}=\sqrt{e_{1}^{2}+e_{2}^{2}}=1 \end{eqnarray*}$ .

Die partielle Ableitung: $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_{1} }\left((x,y)\right) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} } \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_{2} }\left((x,y)\right) =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}} } \end{eqnarray*}$ .
Die partiellen Ableitungen sind in (x,y)=!(0,0) stetig also ist f dort überall total diffbar.

Für jede Folge, die gegen (0,0) konvergiert, muss die partielle Ableitung davon gegen den selben Grenzewert konvergieren. Betrachtet man die Folgen (0,1/n) und (1/n,0) gilt das nicht, denn $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_{1} }\left((0,1/n)\right) \to 0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{\delta f}{\delta x_{1} }\left((1/n,0)\right) \to 1 \end{eqnarray*}$ , deshalb f nicht in (0,0) total diffbar.

Also brauch man die Richtungsableitung hier gar nicht? Könnte es übrigens passieren, dass die partielle Ableitung existiert, und man sich deshalb dann noch die Richtungsableitungen angucken muss, so wie ich es oben wollte ("f total diffbar in x -> dann existiert jede Richtungsableitung...") ?

Viele Fragen, danke für eure Antworten Freude

17.07.2012, 10:41

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Es kann sein, dass die partiellen Ableitungen existieren, obwohl die Funktion trotzdem nicht total diff'bar ist. Die totale Diff'barkeit erfordert zusätzlich, dass diese partiellen Ableitungen stetig sind!!!

Beispiel:
Stell' dir eine Halbkugel mit dem Radius R vor, also $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{r^2-x^2-y^2} \end{eqnarray*}$ . Diese ist am Nordpol total diff'bar. Schneidet man aber ein "Tortenstück" im Bereich $\begin{eqnarray*} 30°<\phi<60° \end{eqnarray*}$ heraus, geht die totale Diff'barkeit am Norpol verloren. Zwar existieren dort nach dem Schnitt noch die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial z}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial z}{\partial y} \end{eqnarray*}$ . Diese sind aber nicht mehr stetig, weil direkt am Nordpol die "Schnittkante" des Tortenstückes beginnt.

Anschaulich ist der Begriff "totale Diff'barkeit" gleichbedeutend mit der "Existenz der Tangentialebene" an dieser Stelle. Man muss an diese Fläche also "ein Brett anlegen" können.

17.07.2012, 12:31

Shaco77

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!
Ja anschaulich ist totale Diffbarkeit unter Umständen klar, wenn man sich unter der Funktion was vorstellen kann. Ist bei mir nicht immer der Fall :P
Jedenfalls, sind meine Überlegungen richtig? Zur Richtungsableitung sagte Andy ja, da käme nicht 1 raus ?

Und noch eine Frage, wieso gilt " f total diffbar -> die partiellen ableitungen sind stetig" ? Die andere Richtung kenne ich.
Danke und Gruß!

17.07.2012, 18:54

Gastmathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Shaco77
Und noch eine Frage, wieso gilt " f total diffbar -> die partiellen ableitungen sind stetig" ? Die andere Richtung kenne ich.
Danke und Gruß!

Das gilt nicht (Ehos hat sich da vielleicht ein bisschen missverständlich ausgedrückt).

Zur Aufgabe: Deine partiellen / Richtungsableitungen stimmen nicht. Bedenke $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ . Daher existiert gar keine partiellen / Richtungsableitungen in (0,0)

Neue Frage »

Antworten »

f total diffbar

Verwandte Themen