Irreduzibilität - Beweis

17.07.2012, 09:12

ChronoTrigger

Irreduzibilität - Beweis

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} L/K \end{eqnarray*}$ eine Körpererweiterung, $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in L \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f,g \in K[x] \end{eqnarray*}$ irreduzible Polynome so, dass $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=0=g(\beta) \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:
a) $\begin{eqnarray*} dim_K K(\alpha,\beta) = grad(f) \cdot dim_{K(\alpha)} K(\alpha,\beta) = grad(g) \cdot dim_{K(\beta)} K(\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$
b) Beweisen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f\in K(\beta)[x] \end{eqnarray*}$ genau dann irreduzibel ist, wenn $\begin{eqnarray*} g\in K(\alpha)[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist.

Teil a) habe ich bereits zeigen können:
Weil f ein irreduzibles Polynom mit Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ automatisch das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , und somit gilt $\begin{eqnarray*} dim_K K(\alpha) = grad (\mu_\alpha) = grad(f) \end{eqnarray*}$ , analog für $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Der Rest folgt dann per Gradsatz.

bei Teil b) habe ich allerdings noch Schwierigkeiten:

Ich versuche erstmal nur eine Richtung zu zeigen, also $\begin{eqnarray*} f \in K(\beta)[x] \text{ irreduzibel} \implies g\in K(\alpha)[x] \text{ irreduzibel} \end{eqnarray*}$

Dazu wollte ich einen Widerspruchsbeweis machen, also angenommen, $\begin{eqnarray*} g\in K(\alpha)[x] \text{ reduzibel} \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} b \in K(\alpha) \end{eqnarray*}$ haben.

Damit müsste ich dann g schreiben können als:

$\begin{eqnarray*} g=\sum\limits_{k=0}^n c_i x^i = (x-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1} c_i x^i \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} c_i \in K(\alpha) \forall i=0,...,n \end{eqnarray*}$

Doch jetzt sehe ich nicht, in wie weit mich das nun weiter bringt.

Kann mir dabei jemand weiter helfen?

danke schonmal im voraus.

17.07.2012, 09:35

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

verwende in der b) die in a) hergeleitete Formel.

17.07.2012, 09:58

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, aber ich steh momentan irgendwie auf dem Schlauch.

Ich seh nicht, in wie weit mir die Formel aus a) dabei weiterhelfen kann.

Könntest du deinen Tipp noch etwas ausführen?

17.07.2012, 10:07

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} f \in K(\beta)[x] \text{ irreduzibel} \end{eqnarray*}$ wie sieht dann das Min.Pol von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(\beta ) \end{eqnarray*}$ aus?
Mit der Formel folgt dann, dass g das Min.Pol. von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist.

P.S. Es gibt auch reduzible Polynome ohne Nullstellen, z.B. (X²+1)(X²-2) über den rationalen Zahlen.

17.07.2012, 11:40

ChronoTrigger

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke

Also das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(\beta) \end{eqnarray*}$ müsste doch dann immer noch $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sein, weil $\begin{eqnarray*} f \in K(\beta)[x] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, und immer noch $\begin{eqnarray*} f(\alpha)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Mit der Formel folgt dann, dass g das Minimalpolynom von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} K(\alpha) \end{eqnarray*}$ , und als Minimalpolynom ist es automatisch auch schon irreduzibel.

Ich denke, jetzt habe ich es verstanden.

danke für deine Hilfe !

Neue Frage »

Antworten »

Irreduzibilität - Beweis

Verwandte Themen