Niemytzki-Raum nicht normal

17.07.2012, 11:53

Wellenoptik

Niemytzki-Raum nicht normal

Meine Frage:
In der Topologie-Vorlesung wurde als Folgerung des Fortsetzungssatzes von Tietze genannt, dass der Niemytzki-Raum nicht normal ist. Der Professor erklärte das so:

Sei $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ der Niemytzki-Raum. Dann ist $\begin{eqnarray*} A = \lbrace (x,0) | x \in\mathbb{R} \rbrace \end{eqnarray*}$ diskret in der Spurtopologie und daher ein abgeschlossener Teilraum von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ diskret ist, ist jede Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig.
$\begin{eqnarray*} \exists \vert A^\mathbb{R} \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
Der Niemytzki-Raum ist separabel, d.h. es gibt eine dichte Teilmenge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vert D \vert = \vert \mathbb{N} \vert \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ dicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ erfüllen das 1. Abzählbarkeitsaxiom, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} f|_A \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt weil $\begin{eqnarray*} \forall x \in X \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \exists (a_n) \subseteq A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim a_n = x \ \Rightarrow \ f(x) = \lim f(a_n) \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} f \colon N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ stetig, so ist $\begin{eqnarray*} f|_D \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt.
$\begin{eqnarray*} \vert \mathcal{C}(N) \vert \leq \vert \mathbb{R}^D \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert \end{eqnarray*}$
Wegen $\begin{eqnarray*} \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert < \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ gibt es viel mehr stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es muss stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geben, die nicht fortgesetzt werden können.

Leider verstehe ich die Argumentation nicht ganz und habe nächste Woche Prüfung. Weiß vielleicht jemand wie das gemeint ist?!
Lg

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A = \lbrace (x,0) | x \in\mathbb{R} \rbrace \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als die x-Achse im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Die Spurtopologie ist die Menge aller Teilmengen der reellen Zahlen, also die diskrete Topologie. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein abgeschlossener Teilraum, weil das Komplement offen ist. Jede Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig, weil jedes Urbild in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist.
$\begin{eqnarray*} \exists \vert A^\mathbb{R} \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Das gilt vermutlich, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eigentlich genau $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.
Der Niemytzki-Raum ist separabel. Daher gibt es nach Definition eine abzählbare, dichte Teilmenge D (z.B. $\begin{eqnarray*} \lbrace (x,y) | x,y \in\mathbb{Q}, y > 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ ).

Bis daher war mir noch alles klar aber ab jetzt erkenne ich den Zusammenhang nicht mehr wirklich:

Ich nehme an $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ sollen topologische Räume sein, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und es soll eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ geben, die dicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegt.

Ist dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das selbe $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wie oben??

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} f|_A \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Das ist klar, weil mit $\begin{eqnarray*} \bar{A}=X \end{eqnarray*}$ gilt, dass
$\begin{eqnarray*} x \in X \ \Leftrightarrow \ \exists (a_n) \subseteq A \colon \lim a_n = x \end{eqnarray*}$ und wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \lim a_n = x \ \Rightarrow \ \lim f(a_n) = f(x) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum ist, der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und es eine dicht Teilmenge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gibt, folgt nach obiger Überlegung, dass $\begin{eqnarray*} f \colon N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f|_D \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist.

Woher kommt die Ungleichung? Die Gleichheit folgt aus der Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \vert \mathcal{C}(N) \vert \leq \vert \mathbb{R}^D \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert \end{eqnarray*}$

Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert < \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ , dass es viel mehr stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt. Was ist das für ein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank für eure Hilfe

23.07.2012, 14:27

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} A = \lbrace (x,0) | x \in\mathbb{R} \rbrace \end{eqnarray*}$ ist ja nichts anderes als die x-Achse im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Die Spurtopologie ist die Menge aller Teilmengen der reellen Zahlen, also die diskrete Topologie. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ein abgeschlossener Teilraum, weil das Komplement offen ist. Jede Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist stetig, weil jedes Urbild in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ offen ist.

Ja.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists \vert A^\mathbb{R} \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f \colon A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Das gilt vermutlich, weil $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eigentlich genau $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

Jup.

Zitat:

Der Niemytzki-Raum ist separabel. Daher gibt es nach Definition eine abzählbare, dichte Teilmenge D (z.B. $\begin{eqnarray*} \lbrace (x,y) | x,y \in\mathbb{Q}, y > 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ ).

Jep.

Zitat:

Ich nehme an $\begin{eqnarray*} X, Y \end{eqnarray*}$ sollen topologische Räume sein, die das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllen und es soll eine Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ geben, die dicht in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ liegt.

Ist dieses $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ das selbe $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wie oben??

Nein, hier steht A für irgendeine abzählbare, dichte Teilmenge. Das A hier hat nichts mit dem andern A zu tun. (Das A im Niemytzki-Raum ist weder abzählbar noch dicht)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist durch $\begin{eqnarray*} f|_A \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Das ist klar, weil mit $\begin{eqnarray*} \bar{A}=X \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} x \in X \ \Leftrightarrow \ \exists (a_n) \subseteq A \colon \lim a_n = x \end{eqnarray*}$ und wegen der Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \colon X \to Y \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim a_n = x \ \Rightarrow \ \lim f(a_n) = f(x) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ein topologischer Raum ist, der das 1. Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, und es eine dicht Teilmenge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ gibt, folgt nach obiger Überlegung, dass $\begin{eqnarray*} f \colon N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f|_D \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt ist.

Jop.

Zitat:

Woher kommt die Ungleichung? Die Gleichheit folgt aus der Abzählbarkeit von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \vert \mathcal{C}(N) \vert \leq \vert \mathbb{R}^D \vert = \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert \end{eqnarray*}$

Jede stetige Funktion ist eindeutig bestimmt durch ihre Wert auf D. D.h. es gibt eine Injektion $\begin{eqnarray*} C(N) \hookrightarrow \{f: D \to \mathbb R\} = \mathbb R^D \end{eqnarray*}$ . Daher die erste Ungleichung.

Zitat:

Warum folgt aus $\begin{eqnarray*} \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert < \vert \mathbb{R}^\mathbb{R} \vert \end{eqnarray*}$ , dass es viel mehr stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} A \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} N \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt. Was ist das für ein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

Das A hier ist das A aus dem Niemytzki-Raum. Es gibt $\begin{eqnarray*} \left|\mathbb R^{\mathbb R}\right| \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} f: A \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ (denn jede solche Funktion ist stetig - A ist ja diskret!). Andererseits haben wir oben gesehen, dass es maximal $\begin{eqnarray*} \vert \mathbb{R}^\mathbb{N} \vert \end{eqnarray*}$ stetige Funktionen $\begin{eqnarray*} N \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ geben kann.

Tietze's extension theorem sagt nun jedoch, dass - wenn N normal wäre - man jede stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Unterraum A zu einer stetigen Funktion auf ganz N erweitern könnte. Daraus würde folgen, dass es mindestens so viele stetige Funktionen auf N gibt, wie es stetige Funktionen auf A gibt.

Doch das ist ja nicht der Fall, folglich kann N nicht normal sein.

Hoffe das hilft. smile

27.07.2012, 09:45

Wellenoptik

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für Deine Hilfe! Jetzt ist mir alles klar.
LG

Neue Frage »

Antworten »

Niemytzki-Raum nicht normal

Verwandte Themen