Cauchy-Folge

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17.07.2012, 16:23	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Folge Meine Frage: Hi. Weisen sie mittels der Def. nach, dass die Folge $\begin{eqnarray} a_n=1+\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray}$ eine Cauchy-Folge ist. Meine Ideen: Also. Sei $\begin{eqnarray} e>0 \end{eqnarray}$ . Ich nehme mir $\begin{eqnarray} n,m\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und setze einfach ein: $\begin{eqnarray} \|a_n-a_m\|=\|1+\frac{(-1)^n}{n}-(1+\frac{(-1)^m}{m})\|=\|\frac{(-1)^n}{n}-\frac{(-1)^m}{m}\|=\|\frac{m(-1)^n-n(-1)^m}{mn}\| \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich nicht wie ich mein $\begin{eqnarray} n_0 \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von e wählen muss. Habe das schon Ewigkeiten nicht mehr geübt
17.07.2012, 16:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folge Hier reicht die (recht brutale) Abschätzung: $\begin{eqnarray} \left\| \frac{(-1)^n} n - \frac{(-1)^m} m \right\| \leq \left\|\frac{(-1)^n} n \right\| + \left\|\frac{(-1)^m} m \right\| \end{eqnarray}$
17.07.2012, 17:19	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, jetzt kommt mit Sicherheit der Trick zur Anwendung, dass beide Summanden kleiner als e/2 sind und damit insgesamt <e, aber ich sehe leider immer noch nicht, wie ich dahinkomme
17.07.2012, 17:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Folge Die Beträge wirst du leicht los, und dann bedenke, ob ein Bruch größer oder kleiner wird, wenn du den Nenner erhöhst. Dann kannst du anwenden, dass du n und m größer als ein gewisses n_0 wählen willst. Und den Ausdruck willst du kleiner als epsilon haben. Das ist dann nur noch umformen.
17.07.2012, 17:52	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich setze dann mal fort: $\begin{eqnarray} \|\frac{(-1)^n}{n}\|+\|\frac{(-1)^m}{m}\|=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\leq\frac{1}{n_0}+\frac{1}{n_0}=\frac{2}{n_0}<e \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n_0=\frac{2}{e} \end{eqnarray}$ Derart? Danke schonmal
17.07.2012, 18:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, also findest du für jedes Epsilon (oder e) eine Zahl n_0 so dass alle Folgenglieder höchstens epsilon von einadner weg sind => eine Cauchy-Folge.
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17.07.2012, 18:06	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Epsilon=e, wusste nicht wie man das mit Latex verwirklicht. Nach der von dir gegebenen Abschätzung war die Aufgabe ja wirklich schon fast gelöst, aber darauf muss man auch erstmal kommen...
17.07.2012, 18:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
LaTeX ist da recht intuitiv - \epsilon bringt ein epsilon. Und als Feinheit gibt es noch \varepsilon, was das epsilon ist, was man in der Mathematik immer verwendet: $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ - epsilon $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ - varepsilon. Und wie gesagt war die Abschätzung ziemlich brutal. Es hat auch nur funktioniert, weil die beiden Ausrücke bereits Nullfolgen waren. In jedem anderen wäre es schief gegangen.
17.07.2012, 18:17	Admiral	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Abschätzung dann immer für zwei Nullfolgen gegeben, das wäre nämlich ein nützliches Instrument?
17.07.2012, 18:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Jop, das dürfte immer funktionieren.
17.07.2012, 18:28	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gilt sogar für alle konvergenten Folgen. Für $\begin{eqnarray} a_n\to a \end{eqnarray}$ haben wir dann mit Dreiecksungleichung durch Einschieben von $\begin{eqnarray} -a+a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lvert a_n-a_m\lvert\leq\lvert a_n-a\rvert+\lvert a-a_m\lvert\leq\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n,m\geq n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lvert a_{n_0}-a\rvert\leq\tfrac\varepsilon2 \end{eqnarray}$ .

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