A=S^t*S => A positiv definit

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blahbel Auf diesen Beitrag antworten »
A=S^t*S => A positiv definit
Hallo, ich soll folgende Aussage beweisen und habe da verschiedene Probleme :-(

Aufgabe:
Zeigen Sie, das für jedes S aus R^nxn, n aus den natürlichen Zahlen, die Matrix A=S^t*S positiv definit ist.
A positiv definit heißt A symetrisch und x^t*A*x > 0 für alle x ungleich 0 aus R^n.

1)
Aus der VL weiß ich, das gilt: A positiv definit <=> alle Eigenwerte von A sind größer 0 und A symetrisch.
Jetzt habe ich mir ein Beispiel überlegt, mit S = .
M=S^t*S wäre ja dann und sollte nach der Behauptung positiv definit sein.
Ich habe als charakteristisches Polynom x^2 -10x heraus, also ist 0 ein Eigenwert, da 0 Nullstelle ist. Bei positiv definiten Matrizen sollen aber laut VL alle EW > 0 sein. Was ist da falsch?

2)
Wie beweise ich die Behauptung? Ich kann zeigen das x^t*A*x = x^t*S^t*S*x = (S*x)^t*(S*X) ist, also auch wieder die Form S^t*S hat, aber ich seh nich wie mir das weiterhelfen soll. Ich habe auch versucht zu zeigen das alle Matrizen der Form A=S^t*S positive Eigenwerte haben, ich weiß das S^t und S die selben Eigenwerte haben, aber alles was mir dazu einfällt basiert auf der Behauptung das dann A dieselben Eigenwerte zum Quadrat hat, und ich weiß noch nicht mal ob das so ist^^.

Kann mir da vielleicht jemand weiterhelfen, ich stecke vollkommen fest :-(
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A=S^t*S => A positiv definit
Zitat:
Original von blahbel

Ich habe als charakteristisches Polynom x^2 -10x heraus, also ist 0 ein Eigenwert, da 0 Nullstelle ist. Bei positiv definiten Matrizen sollen aber laut VL alle EW > 0 sein. Was ist da falsch?
Der Eigenwert ist korrekt. Du verwechselst hier "positiv definit" mit "strikt positiv definit". Der rot markiertre Satz stimmt so nicht.
Zitat:
Original von blahbel
2)
Wie beweise ich die Behauptung? Ich kann zeigen das x^t*A*x = x^t*S^t*S*x = (S*x)^t*(S*X) ist,
Das entspricht gerade der Norm , die ist nach Definition größer/gleich Null.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: A=S^t*S => A positiv definit
Zitat:
Original von Math1986
Zitat:
Original von blahbel

Ich habe als charakteristisches Polynom x^2 -10x heraus, also ist 0 ein Eigenwert, da 0 Nullstelle ist. Bei positiv definiten Matrizen sollen aber laut VL alle EW > 0 sein. Was ist da falsch?
Der Eigenwert ist korrekt. Du verwechselst hier "positiv definit" mit "strikt positiv definit". Der rot markiertre Satz stimmt so nicht.
Das entspricht gerade der Norm , die ist nach Definition größer/gleich Null.


Ich denke hier gibts ein Problem, weil positiv-definit in zwei verschiedenen Arten benutzt wird.
Zum einen mit semi-positivdefinit, dann heißt positiv-definit die Eigenwerte sind echt größer als 0.
Oder zusammen mit strikt-positiv-definit, dann heißt positv-definit lediglich größer gleich 0.

Besonders wenn man Informationen aus verschiedenen Quellen sucht, sollte man hierbei aufpassen.
blahbel Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

ich hab grad nochmal im Skript nachgeschaut, da steht die EW müssen "positiv" sein, wenn man die 0 als positiv ansieht ist das Problem wohl gelöst, danke :-)

Von dieser Norm hab ich leider noch nie gehört, wieso entspricht (S*x)^t*(S*x) der Norm, formt man das irgendwie um? Das einzige, was wir hatten ist "normiert", ein normierter Vektor hat die Länge 1, wir haben das im Zusammenhang mit dem Skalarprodukt gemacht. Hat das irgendetwas damit zu tun?
Falls nicht, fällt euch vielleicht noch ein anderer Weg das zu beweisen, diese Norm hatten wir dann wohl nicht und dürfen die also auch nicht benutzen :-(
Trotzdem schonmal danke :-)
blahbel Auf diesen Beitrag antworten »

Habs verstanden!! Danke an alle für die Hilfe, ich auf einmal macht alles Sinn :-)
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss in der Aufgabe positiv definit im Sinne von positiv semidefinit gemeint sein, anderenfalls wäre die Aussage falsch, siehe Gegenbeispiel oben.

Mit der Norm ist schlicht und einfach die euklidische Norm gemeint.
 
 
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